Exercice fonctions/suites

[I marineI]

Bonjour à tous !!

Je bloque sur la fin d’un exercice…
Voila le sujet en abrégé :

L’objectif du problème est d’étudier la fonction définie sur R par f(x)=1-x²e^-x puis de calculer une valeur approchée de f(x)=x
PARTIE A : 1) limites de f ? démontrer que f’(x)=x(x-2)e^-x ? Sens de variation de f ?
2) Démontrer que la droite D d’équation y=1 est asymptote à C en +oo. Position de C par rapport à D ?
PARTIE B : 1) Soit g(x)=f(x)-x : signe de f’(x) sur intervalle I= [1/2 ; 1] ? en déduire que g’(x)<0 sur I puis que g(x)=0 admet 1 solution alpha.
2) pour tout x de I, f(x) appartient à I et |f’(x)| ;)1/;)e
Pour tout couple de réel (a,b) de I, on a |f(b)-f(a)| ;)(1/;)e)|b-a|
Ecrire cette inégalité lorsque a=alpha et b=x
3)Soit (Un) la suite définie par Un+1=f(Un) et U0=1/2
a) Démontrer que, pour tout n, |Un+1-alpha|;)1/;)e|x-alpha|
b) Démontrer que, pour tout n, |Un+1-alpha|;)1/(2e^((n+1)/2)). En déduire que (un) converge vers alpha
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Ce que j'ai trouvé:
PARTIE A : 1)lim(x>-oo)f(x)=-oo et lim(x>+oo)f(x)=1
f’(x)=x(x-2)e^-x :ok et variations ok
2) y=1 asymptote ok et f est en dessous de y=1
PARTIE B : 1) sur I, f’(x)<0 et croissant. g’(x)<0 et g(x)=0 admet 1 solution alpha : 0,732) Ici il suffit juste de remplacer a par alpha et b par x ?? Ça donnerait ; |f(x)| ;)(1/;)e)|x-alpha| ?? et si c’est sa est-ce qu’il faut remplacer f(x) par 1-x²e^-x ??
3) a) J’ai essayé par récurrence en posant Pn : «|Un+1-alpha|;)1/;)e|x-alpha| ».
Pour l’initialisation pas de problème pour pour l’hérédité je bloque.
b) ??

Voila !! merci de m’aider SVP

[I marineI]

J'ai tout fait sauf la 3) b) quelqu'un pourrait m'aider SVP?

[Ben314]

Salut,
Pour le 3)a), il suffit d'applique la formule trouvée a la fin du 2) avec x=Un (inutile de faire une récurrence ici)
Pour le 3)b), fait une recurrence sur n...