Exercice - Exponentielle

[Dwarfs43]

Je reviens vous voir pour un exercice qui me pose un problème, c'est issue d'un Bac C de Nantes de 1974 :

Soient . On définit sur la fonction par :



1) (a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour que la fonction soit continue en 1.
(b) Déterminer les valeurs de et pour que la fonction soit dérivable en 1.
2) On définit sur la fonction par



(a) Etudier les limites de en et
(b) Montrer que, pour tout



et en déduire le tableau de variation de
(c) Tracer la courbe représentative de dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.
3. On définit sur la fonction par
(a) A l'aide d'une integration par parties, déterminer une primitive et sur
(b) En déduire l'air, en cm , de la région du plan définie par


Merci d'avance pour votre aide !

[Carpate]

Je note ) l'expression de f pour et ) l'expression de f pour

Continuité en 1 :
soit

Dérivabilité en 1:


C'est quoi ces notations bizarres : , ? Des hiéroglyphes ?

[Dwarfs43]

pour les x$ j'ai modifié, c'étais un bug
Après en dérivant on a
mais je ne vois toujours pas comment avoir a et b

[Carpate]

pour les x$ j'ai modifié, c'étais un bug
Après en dérivant on a
mais je ne vois toujours pas comment avoir a et b

Continuité en 1 :
f(1^{-}) = f(1^{+}) soit 1.e^{1} = a.1 +b
a+b = e

Dérivabilité en 1:
f'(1^{-}) = f'(1^{+})
(1+1)e^1 a
a = 2e
Donc si f continue et dérivable en x = 1, a = 2e, b = -e

[Dwarfs43]

AH ok j'avais pas vue ça comme ça merci.
Pour les Lim c'est bien toutes les deux en pour ?
Et pour la première en et la deuxième

[Carpate]

AH ok j'avais pas vue ça comme ça merci.
Pour les Lim c'est bien toutes les deux en pour ?

En , et l'exponentielle l'emporte sur x donc C'est du cours

[Dwarfs43]

Oui oui, j'ai édité mon message, je l'avais ajouté ^^après je vois pas comment démontrer g'(x), est-ce que tu pourrais me donner un indice ?

[Carpate]

Oui oui, j'ai édité mon message, je l'avais ajouté ^^après je vois pas comment démontrer g'(x), est-ce que tu pourrais me donner un indice ?

(b) Montrer que, pour tout x \in R



Il y a juste à calculer et et, en plus, on te donne la réponse !

Remarque : on voit que la fonction g donnée vérifie les conditions de continuité et de dérivabilité en x = 1 car a= 2e et b = -e