Exercice Exponentielle Logarithme

[francois-laurent]

Partie 1: Etude d'une fonction auxilliaire.
Soit la fonction g définie sur R par g(x) = xe^x -1
1.Déterminer la fonction dérivée g' de g.
2.Déterminer le signe de g'(x) et en déduire les variations de g.
3.Déterminer les limites de g en -;) et +;) .
4.Montrer que g s'annule une et une seule fois sur [0,+;)] pour une valeur ;) dont on donnera une valeur arrondie à 10^-2 près.
5.En déduire le signe de g(x) sur [0,+;)[.

Partie 2: Etude de la fonction f définie sur ]0,+;)[ par f(x) = e^x -lnx
1.Déterminer les limites de f en 0 et en +;) (En +;) on pourra mettre x en facteur).
2.Déterminer la fonction dérivée de f' de f.
3.Déterminer le signe de f'(x) et en déduire les variations de f.
4.Tracer la courbe dans un repère judicieux.

Partie 3: Recherche d'une aire.
1.Montrer que la fonction H définie par H(x) = xlnx – x est une primitive sur ]0,+;)] de la fonction ln.
2.En déduire une primitive F de f sur ]0,+;)[.
3.Déterminer en fonction de l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites d'équation x=1 et x=2 et la courbe de f.

Si quelqu'un peux m'aider svp ... Merci d'avance

[st00pid_n00b]

Si quelqu'un peux m'aider svp ... Merci d'avance

Ok mais tu en es où? Tu as répondu à quelles questions? Lesquelles te posent problème?

[francois-laurent]

1; g(x)= xe^x -1
g'(x)= 1e^x + xe^x
g'(x)= e^x + xe^x
2: Je sais pas comment déterminer le signe

[Ixe]

Si on te demande le signe d'une dérivée, c'est qu'il y a surement des chose à en tiré.
Pour le cas de e^x, tu dois savoir que e^x > 0 pour tout x réel.

Que peux tu en déduire ?

Ensuite, tu fais ton tableau de variation, et tu reportes g'(x), et alors, g(x).

[francois-laurent]

dans le tableau de signe je met +
et une fleche qui part du bas vers le haut

[maths0]

1.Déterminer la fonction dérivée g' de g.
Quelle est la dérivée de g ?
Quelle est la dérivée de g' ?

[francois-laurent]

g(x)= xe^x -1
g'(x)= 1e^x + xe^x
g'(x)= e^x + xe^x <- sa c'est sa dérivée

[Ixe]

Il est plus pratique d'écrire :

g'(x) = e^(x-1) * ( x + 1 )

[maths0]

<->-<>--<> de quoi ? de qui ? comment ?

[francois-laurent]

je suis perdu la

[maths0]

Soit: une fonction définie sur .
1) Calculer la dérivée de g notée g'.

Calcul de la dérivée de g:
g'=...
A quoi peut bien servir une dérivée ?

[Euler07]

je suis perdu la

Tu trouves g'(x) = e^x + xe^x
Tu factorises donc on a g'(x) = e^x (1+x) et non e^(x-1) * ( x + 1 ) comme l'a dit Ixe (à moins qu'il a fait une faute de frappe)

Pour le signe de g'(x) tu peux raisonner ainsi :

e^x > 0 pour tout x de R ensuite reste à étudier le signe de 1 + x

:livre:

[Ixe]

g(x)= xe^(x -1)

De la forme f=u*v
On prends :
u(x) = x
u'(x) = 1
v(x) = e^(x-1)
v'(x) = e^(x-1) ( N'oublie pas que (e^u)'=u'*e^u

Donc f'(x) = (uv'+u'v) = x*e^(x-1) + e^(x-1) = e^(x-1) * ( x + 1)


EDIT : Est ce que je me trompe?

[Euler07]

g(x)= xe^(x -1)

v(x) = e^(x-1)
v'(x) = e^(x-1) ( N'oublie pas que (e^u)'=u'*e^u)

EDIT : Est ce que je me trompe?

Et bien je pense que quand on met xe^x-1 cela ne veut pas dire xe^(x-1)

:livre:

[francois-laurent]

vous m'embrouiller la .. je comprend rien

[Ixe]

Et bien je pense que quand on met xe^x-1 cela ne veut pas dire xe^(x-1)

:livre:

Oups, autant pour moi.

EDIT : François-L

J'avais compris que l'equation cherché était g(x) = x* e^(x-1), alors qu'en fait il semblerai que ce soit plutot g(x) = x*(e^x) -1

[francois-laurent]

Ma dérivée est elle bonne ou pas ?

[Euler07]

vous m'embrouiller la .. je comprend rien

Tu trouves g'(x) = e^x + xe^x
Tu factorises, tu as donc g'(x) = e^x(1+x)
Ensuite tu peux étudier le signe de cette expression

En sachant que pour tout x de R e^x > 0, en est il pour autant pour 1 + x ?

:livre:

[st00pid_n00b]

François-L:

Ta dérivée est bonne, il faut factoriser pour étudier son signe. Quand on dit "une exponentielle est toujours positive" ça ne veut pas dire que dès qu'il y a une exponentielle quelque part dans une fonction, la fonction est positive. C'est juste e^x tout seul qui est positif.

[francois-laurent]

ah ok merci