Exercice TS Étude Fonction/Suite

[LaylaManga]

Bonjour, alors voilà j'ai un souci avec un exercice que voici:
On donne la courbe C représentative de la fonction f définie sur R par
f(x)=x-1/4(x+1)e^-x ainsi que la droite d'équation y=x.

1)a Calculer f' x et f''(x)
B) en déduire les variations de f'.
C) Démontrer que l'équation f'(x)=0 admet une solution unique alpha tel que -1,21D) démontrer que si x E à I=[-1;0] alors f(x) E aussi a I

B/Étude d'une suite
On définit Un par Uo=0 et U(n+1)=f(Un)

1 conjecturer le sens de variation et la convergence de Un
2 a Démontrer par récurrence que -1b Démontrer que la suite Un est décroissante.
c en déduire que Un converge vers une limite l que l'on déterminera

J'ai réussi a tout faire sauf les 2 dernière du B..
J'ai montrer par récurrence mais après je sais pas du tout... J'ai bien essayer de faire U(n+1)-Un, ou je trouve -1/4[e^-x(x+1)] et quand je fais un tableau de signe, je trouve Un+1-Un : +0- Mais ça ne prouve pas que Un est décroissante!
Donc si quelqu'un pourrait m'aider ce serait avec grand plaisir ^^ Merci d'avance!

[biss]

Comme tu as montré que or tu as montré que f(Un) est décroissante sur [-1;0] donc Un+1 est décroissante et U1<U0 alors tu peux en conclure que Un est décroissante. Peut être que maintenant ça te donnera des idées pour la suite

[LaylaManga]

Comme tu as montré que or tu as montré que f(Un) est décroissante sur [-1;0] donc Un+1 est décroissante et U1<U0 alors tu peux en conclure que Un est décroissante. Peut être que maintenant ça te donnera des idées pour la suite

Merci beaucoup! Mais juste: U1=0? Car si c'est le cas ce n'est pas < mais <ou égal non? Car U1=f(Uo)=f(0) et dans la question 2b de la partie A j'ai dit que f(0)=0 et f(-1)=-1
Et pour la convergence, comment je fais pour trouver l? Car pour le moment, a par dire que Un est minorée par -1 donc elle converge , cela ne m'explique par le l ^^' Merci de m'aider sur ce coup là ! ^^

[titine]

f(x) = x - 1/4(x+1)e^(-x)
Donc f(0) = 0 - 1/4(0+1)e^0 = -1/4
Donc U(1) = -1/4

Tu as démontré que la suite (Un) converge vers une limite l.
Comme U(n+1) = f(U(n))
Par passage à la limite on a : l = f(l)
Donc l = l - 1/4(l+1)e^(-l)
1/4(l+1)e^(-l) = 0
Donc l+1 = 0
Donc l = -1

[LaylaManga]

f(x) = x - 1/4(x+1)e^(-x)
Donc f(0) = 0 - 1/4(0+1)e^0 = -1/4
Donc U(1) = -1/4

Tu as démontré que la suite (Un) converge vers une limite l.
Comme U(n+1) = f(U(n))
Par passage à la limite on a : l = f(l)
Donc l = l - 1/4(l+1)e^(-l)
1/4(l+1)e^(-l) = 0
Donc l+1 = 0
Donc l = -1

Merci beaucoup! ^^ Juste, j'ai juste a dire que Un est décroissante donc convergente pour ensuite montrer l? Car une suite peut être décroissante sans pour autant avoir une limite fini non?

[biss]

Effectivement une suite peut être décroissante sans être convergente mais une suite décroissante et minoré ( comme ta suite ) convere obligatoirement

[LaylaManga]

Effectivement une suite peut être décroissante sans être converente mais une fonction décroissante et minoré ( comme ta suite ) convere obligatoirement

Ah oui c'est vrai, j'ai oublié l'étape "minoré" ^^' Par contre, j'ai pas compris le calcul de l.. Comment on passe de l-1/4(l+1)e^-x à l+1=0 donc l=-1?

[biss]

C'est quoi ta fonction ?
a) ou b) ?

[titine]

C'est quoi ta fonction ?
a) ou b) ?

Étant donné que f est définie sur R je suppose que c'est

Comment on passe de l-1/4(l+1)e^-x à l+1=0 donc l=-1?

L = f(L)
Donc L = L - 1/4 (L+1) e^(-L)
Ce qui donne : 1/4 (L+1) e^(-L) = 0
D'accord ?
Un produit est égal à 0 si un des facteurs est égal à 0.
Or 1/4 0 et e^(-L) 0 car e^(...) > 0
Donc L+1 = 0

[LaylaManga]

C'est quoi ta fonction ?
a) ou b) ?

C'est la b)

[LaylaManga]

Étant donné que f est définie sur R je suppose que c'est


L = f(L)
Donc L = L - 1/4 (L+1) e^(-L)
Ce qui donne : 1/4 (L+1) e^(-L) = 0
D'accord ?
Un produit est égal à 0 si un des facteurs est égal à 0.
Or 1/4 0 et e^(-L) 0 car e^(...) > 0
Donc L+1 = 0

Je suis vraiment désolé mais je n'arrive pas à voir pourquoi on enlève le "l-" au début : l-1/4(l+1)e^-l
et puis on a le droit d'écrire directement l+1=0 puis l=-1 après 1/4(l+1)e^-l ?

[titine]

On résout l'équation :
L = L - 1/4 (L+1) e^(-L)
Cette équation est équivalente à :
L - L + 1/4 (L+1) e^(-L) = 0
1/4 (L+1) e^(-L) = 0
qui est équivalent à : L + 1 = 0 car 1/4 e^(-L) n'est jamais égal à 0

[LaylaManga]

On résout l'équation :
L = L - 1/4 (L+1) e^(-L)
Cette équation est équivalente à :
L - L + 1/4 (L+1) e^(-L) = 0
1/4 (L+1) e^(-L) = 0
qui est équivalent à : L + 1 = 0 car 1/4 e^(-L) n'est jamais égal à 0

Ah ok! Merci beaucoup ^^

[Ben314]

Comme tu as montré que or tu as montré que f(Un) est décroissante sur [-1;0] donc Un+1 est décroissante et U1<U0

Je comprend pas bien ce que c'est sensé vouloir dire "f(Un) est décroissante".
Pour moi un truc décroissant, c'est une suite ou bien une fonction or , c'est... un réel...
Donc, est-ce la suite qui est décroissante ou bien la fonction ?

[biss]

Je comprend pas bien ce que c'est sensé vouloir dire "f(Un) est décroissante".
Pour moi un truc décroissant, c'est une suite ou bien une fonction or , c'est... un réel...
Donc, est-ce la suite qui est décroissante ou bien la fonction ?

La suite (message trop courte)