Exercice difficile

par **alexbest22** » 28 Avr 2013, 11:32

Bonjours tout le monde !
Je suis actuellement en seconde et nous faisons les vecteurs .. :mur:

L'énoncé de l'exercice est pourtant simple , je cite :

Soit MNPQ est un carré de centre O .
I et J sont les milieux respectifs de [MN] et [OP].
Démontrer que le triangle IJQ est isocèle et rectangle

Voilà , j'ai beau faire un schéma je n'arrive pas a démontrer cela avec des vecteurs et pourtant sur mon schéma , c'est bien rectangle et isocèle donc mon schéma est bon

J'aurai besoin d'un peu d'aide merci :)

par **siger** » 28 Avr 2013, 14:24

alexbest22 a écrit:Bonjours tout le monde !
Je suis actuellement en seconde et nous faisons les vecteurs .. :mur:

L'énoncé de l'exercice est pourtant simple , je cite :

Soit MNPQ est un carré de centre O .
I et J sont les milieux respectifs de [MN] et [OP].
Démontrer que le triangle IJQ est isocèle et rectangle

Voilà , j'ai beau faire un schéma je n'arrive pas a démontrer cela avec des vecteurs et pourtant sur mon schéma , c'est bien rectangle et isocèle donc mon schéma est bon

J'aurai besoin d'un peu d'aide merci

Bonjour,
Tout est en vecteurs
On cherche a montrer que JQ.JI=0 avec a cote du carré
JQ.JI = (JO + OQ).(JO+OI) = JO.JO + JO.OI + OQ.OI car QO.JO = 0

JO.JO = JO*JO = JO² = (MP/4)² = a²/8
JO.OI = (PM/4).(PN/2) = PM.PN/8 = PN²/8 = a²/8
OQ.OI= (OM + MQ).(OI) = OM.OI + MQ.OI = OI² - MQ.IO = a²/4 - a²/2

par suite on obtient JO.JI = 0
.....

par **alexbest22** » 28 Avr 2013, 14:39

siger a écrit:Bonjour,
Tout est en vecteurs
On cherche a montrer que JQ.JI=0 avec a cote du carré
JQ.JI = (JO + OQ).(JO+OI) = JO.JO + JO.OI + OQ.OI car QO.JO = 0

JO.JO = JO*JO = JO² = (MP/4)² = a²/8
JO.OI = (PM/4).(PN/2) = PM.PN/8 = PN²/8 = a²/8
OQ.OI= (OM + MQ).(OI) = OM.OI + MQ.OI = OI² - MQ.IO = a²/4 - a²/2

par suite on obtient JO.JI = 0
.....

C'est assez cool , je n'ai absolument rien compris :hein:

par **siger** » 28 Avr 2013, 15:43

Reprend ligne par ligne:
ou est le probleme? a condition bien sur que tu connaisse le produit scalaire, ce que semble indiquer ta question.

par **alexbest22** » 28 Avr 2013, 16:50

Le produit scalaire .. Ca ne me dit absolument rien , c'est un problème ouvert donc je pense qu'il y a d'autres solutions que le produit scalaire non ?

par **siger** » 28 Avr 2013, 17:51

Bien sur,
mais c'est toi qui a parlé de vecteurs!

Il y a souvent plusieurs solutions

A- trace la parallele a QM qui passe par J et coupe QP en K et MN en L
Le theoreme de Thales montre que l'on a PJ/PM = PK/PQ = NL/NM = 1/4
Les triangles QKJ et JIL sont rectangles et l'on a (Pythagore)
QJ² = QK² +KJ² = (3/4)² + (1/4)² = 10/16
IJ² = JL² + IL² = (3/4)² + (1/4)² = 10/16
Dans le triangle QMI on a
QM² = 1² + (1/2)² = (5/4) = 10/8
...
on a donc QJ = IJ et QIJ triangle rectangle

B- Dans le systeme d'axes (M,MN,MQ) on a
Q(0,1), I(1/2,0), J(3/4,3/4)
droite(IJ) : y = 3x-3/2
droite(QJ) : y = -x/3 +1
et le produit des coefficients directeurs est egal a 3*(-1/3) = -1
les droites sont donc perpendiculaires
....

par **Carpate** » 28 Avr 2013, 18:04

alexbest22 a écrit:Le produit scalaire .. Ca ne me dit absolument rien , c'est un problème ouvert donc je pense qu'il y a d'autres solutions que le produit scalaire non ?

On peut utiliser le théorème de Pythagore en faisant de la géométrie analytique.
On choisit le repère orthonormal

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