Exercice de démonstration par récurrence TS

[Axouvict]

Bonsoir,

Moi et une partie de ma classe, on bosse sur un DM. On est 10 à travailler et personne ne trouve une solution. Voici l'énoncé de notre cauchemar:

Démontrer que pour tout entier naturel n;)1,

1+1/2+1/3+...+1/(2^n) ;) 1+(n/2)"

Par exemple pour n=1 sa donne:
1+1/2= 3/2

Pour n=2:
1+1/2+1/3+ 1/4 = 25/12
1+ 2/2 =1

Voila, merci d'avance.

[Fred_Sabonnères]

La réponse réside dans

[Ericovitchi]

Il faut démontrer ça par récurrence. tu as fait l'initialisation donc maintenant suppose l'inégalité vraie pour n et démontre qu'elle l'est encore pour n+1. sert toi de l'hypothèse de récurrence.

[Manny06]

Bonsoir,

Moi et une partie de ma classe, on bosse sur un DM. On est 10 à travailler et personne ne trouve une solution. Voici l'énoncé de notre cauchemar:

Démontrer que pour tout entier naturel n;)1,

1+1/2+1/3+...+1/(2^n) 1+(n/2)"

Par exemple pour n=1 sa donne:
1+1/2= 3/2

Pour n=2:
1+1/2+1/3+ 1/4 = 25/12
1+ 2/2 =1

Voila, merci d'avance.

1+2/2=2 rectifie ton calcul
effectivement il faut faire une récurrence
n'avez vous pas démontré une autre inégalité avant ?

[Fred_Sabonnères]

C'est quoi la formule ?



Il n'y a pas de 1/3

Alors pour n=2 on a

[Fred_Sabonnères]

Par exemple pour n=1 sa donne:
1+1/2= 3/2

Pour n=2:
1+1/2+1/3+ 1/4 = 25/12
1+ 2/2 =1

Dans le cas n=1, n'est pas supérieur à

Y a un problème quelque part dans l'énoncé :mur:

[Ericovitchi]

Mais si il y a un 1/3 (sinon ça ne marche pas, la suite ne diverge pas) moi j'ai compris :
1+1/2+1/3+1/4+...1/n+1/(n+1)+ ... +1/2^n

Et la récurrence marche pile poil.

[Fred_Sabonnères]

Chez moi 2^n=

[Ericovitchi]

Oui, chez moi aussi.

[Fred_Sabonnères]

Alors pour quelle valeur de n a-t-on
???
y a un truc que j'comprends pas :doh:

[Sourire_banane]

Salut,

Alors pour quelle valeur de n a-t-on
???
y a un truc que j'comprends pas :doh:

Pour aucune valeur si l'on travaille dans N !

[Ericovitchi]

Mais non, cela veut juste dire que les dénominateurs vont de 1 à 2^n
la définition de la suite est :
1+1/2+1/3+1/4+...+1/2^n
1/2^n n'est pas le modèle générique des termes (c'est 1/k le modèle générique).

[xNiicO]

Je pense que tu as pas très bien regarder le sens de la suite.

Tu pensais que c'était 1 + 1/2^1 + ... + 1/2^n

Pas possible déjà car si tu raisonnes comme ça le 1 du début c'est 1/2^0 et comme n est supérieur ou égal à 1 ce n'est pas possible que tu ais 1 dans ce cas alors il faut juste comprendre que c'est une suite de fraction donc 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2^n qui est aussi une fraction, remplaces n par une valeur genre 3 et ta suite sera du type :

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 --> 2^3 = 8 ;)

Maintenant à toi de jouer

[Sourire_banane]

Alors pour quelle valeur de n a-t-on
???
y a un truc que j'comprends pas :doh:

Ok je viens de lire le thread et j'ai compris ce qui te gène, Fred.

En fait, le terme général de la suite des sommes partielles est 1/k et pas 1/2^k comme tu pourrais le penser. Mais ici, la somme partielle s'arrête à l'indice 2^n, ce qui t'a sans doute induit en erreur.

[Axouvict]

Non justement, quand on passe de n=1 à n=2, on a
pour n=1:

1+ 1/2

Pour n=2:
1+ 1/2 + 1/3 + 1/(2^2)

pour n=3 :
1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/(2^3)
Et ainsi de suite.

A la fin de l'étape d'hérédité on doit avoir:
1+ 1/2 + 1/3 + ... + 1/2^n + 1/((2^n)+1) + 1/((2^n)+2) + ... + 1/(2^n+1) ;) 1 + (n+1)/2

On a réussi entre temps même si j'ai pas tout compris. Merci de votre aide!

[xNiicO]

C'est possible oui mais je pense que la meilleure explication le plus simple et logique est celle de Ericovitchi

[Ericovitchi]

Oui, pour la récurrence, effectivement, tu écris que la somme est supérieure à 1+n/2 +1/(2^n +1)+...+1/2^(n+1) (en utilisant ton hypothèse de récurrence) et puis tu dis que la somme de ces 2^n termes est supérieure à 2^n fois le plus petit (qui est 1/2^(n+1)) donc >1+n/2+2^n/2^(n+1)=1+n/2+1/2=1+(n+1)/2 et ça montre que l'inégalité est bien encore vérifiées pour n+1.

[Fred_Sabonnères]

Eureka! J'y étais pas du tout :hein2: