Exercice - Congruence - Demonstration

[Nastya9307]

ENONCE: pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE, en JUSTIFIANT la réponse. Dnas ce qui suit, a et b sont deux entiers rélatifs.

1. Si a congrue b[8] alors a² congrue b²[8]

2. Si a² congrue b²[8] alors a congrue b[8]

3. Si a congrue b[8] alors 2a congrue 2b[8]

4. Si 2a congrue 2b[8] alors a congrue b[8]


Je sais que la 1ere et la 3eme propositions sont vraies car on peut multiplier (c'est le théorème). Pour demontrer ça, il faut commencer par réccurence mais je ne sais pas comment demarrer...=(

Les propositions 2 et 4 sont fausses car on ne peut pas diviser les congruences. Pouvez vous m'aider à trouver comment demontrer cela avec un contre exemple?

Merci à l'avance=)

[Trident]

1° VRAIE .

2° FAUSSE . Contre Exemple :

3 ² = 9 et 1 ² = 1 , on a bien 9 = 1 [8] mais on a pas 3 = 1 [8]


3° Oui, la congruence est compatible avec la multiplication et l'addition. Si a = b [8] , alors 2 * a = 2 * b [8]

4° FAUSSE . Contre Exemple :

On a 16 = 2 * 8 et 8 = 2 * 4 , on a bien 16 = 8 [8] mais on a pas pour autant 8 = 4 [8]

[Trident]

Excuse moi, j'avais pas vu qu'il fallait démontrer.


1° Si a = b [8] , alors a ² = b² [8]

Preuve :

a = b [8] <===> 8 divise a - b donc il existe k dans Z tel que a -b = 8 k soit a = 8k + b

a ² = (8k +b)² = 64k² + 16kb + b² = 8 (8k² + 2kb) + b ² donc a ² = b² + 8K avec K = 8k² + 2kb donc on a bien :

a² = b² [8]

3° a = b [8] <==> Il existe k' dans Z tel que a = 8k' + b donc 2a = 16k' + 2b donc 2a = 2b + 8 * (2k') d'où 2a = 2b [8]

[Nastya9307]

merci beaucoup=)