Exercice ''Applications''

[Rimchi]

Bonjour les matheux,

Soient deux applications: g: F==>G et f: E==>F Montrez que :

gof injective implique f injective et gof surjective implique g surjective

et gof injective et f surjective implique g injective

et gof surjective et g injective implique f surjective


Merci de bien vouloir m'aider ou m'éclaircir.

[Nightmare]

Salut,

qu'as-tu essayé? Il va s'agir simplement de revenir aux définitions d'injective et surjective. Les connais-tu?

[Rimchi]

Salut,

qu'as-tu essayé? Il va s'agir simplement de revenir aux définitions d'injective et surjective. Les connais-tu?

Oui je les connais,
f est une application injective : f:E==>F Pour tout(x,x') appartiennent à E² : f(x)=f(x') ==> x=x'
f :E==>F f est une application surjective: pour tout y appartient à F : il y'a x appartient à E : f(x) = y

gof = g(f(x)) ... je sais pas quoi faire !

[Nightmare]

Prenons la première par exemple :

"gof injective implique f injective"

On veut montrer que f est injective, c'est à dire que quels que soient x et x', si f(x)=f(x') alors x=x'.

Pour ça, on a comme hypothèse que gof est injective, c'est à dire que quels que soient x et x', si gof(x)=gof(x') alors x=x'.

Essaye de relier les deux.

[Rimchi]

Prenons la première par exemple :

"gof injective implique f injective"

On veut montrer que f est injective, c'est à dire que quels que soient x et x', si f(x)=f(x') alors x=x'.

Pour ça, on a comme hypothèse que gof est injective, c'est à dire que quels que soient x et x', si gof(x)=gof(x') alors x=x'.

Essaye de relier les deux.

Tout à fait,

Supposons que gof est injective
Pour tout (x,x');) à E : f(x) = f(x') donc g((fx))=g((fx')) on a gof injective donc x=x' donc f est injective

de même pour la deuxième:
Supposons gof est surjective
Soit y à G , il existe x E : y= g((fx)) . pour tout z=f(x);) F on obtient g(z) = y donc g est surjective

[Nightmare]

Tu as compris le principe, le reste est identique.

:happy3:

[Rimchi]

Tu as compris le principe, le reste est identique.

:happy3:

Oui, on va utiliser les deux premières implications

Pour démontrer la 3ème implication :
On suppose que gof est injective et f surjective, par la première qimplication on sait que f est injective
f est surjective et injective donc f bijective. Utilisons le f-1
Donc (gof)o f-1 =g on sait que gof est injective est f-1 est injective donc g est injective

pour la 4ème :
On suppose que gof est surjective et g injective ,démontrons que f est surjective
par la 2ème implication on sait que g est surjective.De même on utilise g-1

(gof)o g-1 = f et puisque gof est surjective et g-1 surjective : f est surjective


Merci Nightmare