Etude d'une fonction trigonométrique...

[alice32]

Il y a plusieurs questions d'un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

f(x) = 2sinx + sin2x sur R

1) Justifiez que f est périodique et que 2pi est une période. Etudiez la parité de f. Déduisez-en qu'il suffit d'étudier la fonction f sur l'intervalle [0 ; pi].

2) Démontrez que pour tout réel x, f'(x) = 2(2cosx - 1)(cosx + 1).

Les questions d'après dépendent de ces questions et je pense pouvoir les résoudre une fois que j'aurais compris le débt de l'exercice...

La question 1) je n'arrive pas du tout à la faire.
Quand je calcule la dérivée de f pour la question 2) je trouve : f'(x) = 2cosx + 2cos2x = 2(cosx + cos2x)
Mais je ne parviens pas à trouver le résultat demandé dans la question.

Merci pour votre aide =)

[Noemi]

Pour la période, il faut montrer que f(x+2pi) = f(x)
donc exprimer f(x+2pi) et simplifier l'expression

Pour la parité calculer f(-x) et montrer que l'on trouve -f(x) donc fonction impaire

Pour la dérivée : utiliser cos2x = 2 cos^2x -1
puis factoriser l'expression

[alice32]

J'ai compris la périodicité.
Cependant la parité me pose toujours problème, je n'arrive pas à prouver que f(-x) = -f(x).
Et la dérivée je ne parviens toujours pas au résultat final souhaité...
Voilà mes calculs :
f'(x) = 2cosx + 2cos 2x
f'(x) = 2cosx + 2(2cos²x-1)
f'(x) = 2(cosx+2cos²x-1)

[Noemi]

f(x) = 2sinx + sin(2x)
f(-x) = 2sin(-x) + sin(-2x) comme sin(-a) = -sina
f()x = -2 sinx - sin(2x)
= -(2sinx + sin(2x))
= -f(x) donc fonction impaire

Pour la dérivée :
f'(x) = 2cosx + 2 cos(2x), or cos(2x) = 2 cos^2x -1
f'(x) = 2cosx +4cos^2x - 2
= 2cosx - 1 + 4cos^2x - 1
= 2cosx - 1 + (2cosx - 1) (2cos + 1) on factorise 2cosx - 1
f'(x) = (2cosx - 1)(1 + 2cosx +1)
= 2 ( 2cosx -1)(cosx + 1)

[alice32]

Ok =)

Je pensais que je parviendrais à faire la suite mais mon résultat ne correspond pas à ce que je toruve sur la calculatrice...

Il s'agit d'étudier les variations de f sur [0;pi]

Donc j'étudie le signe de f'(x)

2 > 0

2cosx - 1 > 0 si x appartient à [0;pi/3]

cosx + 1 > 0 si x appartient à [0;pi]

On obtient donc f'(x) > 0 sur [0;pi/3]
Et f'(x) < 0 sur [pi/3;pi]



Où est mon erreur?

[Noemi]

C'est juste.
Vérifie que ta calculatrice est en mode radian.

[alice32]

ahhh oui!!!
Merci beaucoup!