DM - Etude d'une fonction

[tomtom21]

Bonjour,

j'ai un exercice type bac à faire en DM, je l'ai quasiment terminé, cependant je bloque à une ou deux questions et j'aimerai avoir un peu d'aide et aussi un avis sur les questions que j'ai déjà faites.

Voici l'énoncé :

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
On considère la fonction f définie sur par :



On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère ; unité graphique : 4 cm.

1/ Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d'abscisse 0.

2/a. Etablir que, pour tout x appartenant à l'intervalle :



Avec

b. Etudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle
En déduire le signe de u(x)

c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapport à la droite (T)

3/ Tracer C et (T)

4/ Montrer que pour tout réel positif x,



5/ Déterminer une primitive F de f sur [0; +1[

6/ On note D le domaine délimité par la courbe C, la tangente (T) et les droites d'équations x=0 et x=1.
Calculer, A l'aire du domaine D en cm² puis donner une valeur décimale au mm² près de l'aire A

7/ Pour entier naturel n, on pose :



a. Calculer ; et
On donnera des valeurs décimalesapprochées à près.

b. Interpréter graphiquement

c. On suppose que f est décroissante sur .
Montrer que, pour tout ,



En déduire la monotonie de la suite à partir de n=1

d. Déterminer la limite de la suite

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Voici mes réponses : (non rédigées)

1/

Avec l'équation de la tangente, on obtient après calcul (pour a=0)





2/a.

et



Donc

b.


Sur

xe^x > 0 donc :

-xe^x < 0

Donc u(x) est décroissant sur ce même intervalle.

c. Comme u(x) est négatif pour tout x appartenant à et que (x+1) et sont positifs pour tout x appartenant à alors on à :



3/ Ne sachant pas comment insérer une image, voici une image uploadée de ce dernier : Cliquer ici

4/

Ici

5/

6/ Graphiquement, on détermine que

soit



Soit : ou encore

7/a.




b. Il s'agit de l'aire comprise entre la courbe f(x) et l'axe des abscisses.

c. Voici l'une des questions que je n'arrive pas à faire, et pour laquelle j'aimerai avoir un peu d'aide svp :help:

d. Graphiquement, il est possible de dire que la limite de cette fonction en est 0 mais je ne sais pas comment bien le démontrer, un peu d'aide svp ? :help:

[Manny06]

[quote="tomtom21"]Bonjour,

j'ai un exercice type bac à faire en DM, je l'ai quasiment terminé, cependant je bloque à une ou deux questions et j'aimerai avoir un peu d'aide et aussi un avis sur les questions que j'ai déjà faites.

Voici l'énoncé :

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On considère la fonction f définie sur par :



On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère ; unité graphique : 4 cm.

1/ Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d'abscisse 0.

2/a. Etablir que, pour tout x appartenant à l'intervalle :



Avec

b. Etudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle
En déduire le signe de u(x)

c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapport à la droite (T)

3/ Tracer C et (T)

4/ Montrer que pour tout réel positif x,



5/ Déterminer une primitive F de f sur [0; +1[

6/ On note D le domaine délimité par la courbe C, la tangente (T) et les droites d'équations x=0 et x=1.
Calculer, A l'aire du domaine D en cm² puis donner une valeur décimale au mm² près de l'aire A

7/ Pour entier naturel n, on pose :



a. Calculer ; et
On donnera des valeurs décimalesapprochées à près.

b. Interpréter graphiquement

c. On suppose que f est décroissante sur .
Montrer que, pour tout ,



En déduire la monotonie de la suite à partir de n=1

d. Déterminer la limite de la suite

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Voici mes réponses : (non rédigées)

1/

Avec l'équation de la tangente, on obtient après calcul (pour a=0)





2/a.

et



Donc

b.


Sur

xe^x > 0 donc :

-xe^x =2
f(n+1)=0
on peut montrer que la limite est nulle en écrivant Vn à l'aide d'une primitive de f