Etude de fonctions

[lala1]

Bonjour!
pouvez vous m'aider s'il vous plait pour cet exercice qui me pose problème, merci beaucoup

A/ Soit la fonction g définie sur [0; +00[ par f(x)= x²*racine de(x²+1) -1
1. etudier la fonction g (limites et variations)
2.montrer qu'il existe une et une seule valeur alpha telle que f(x)=0 (alpha superieur à 0) et montrez que 0Determiner alpha à 10^-² près
3.En déduire le signe de g(x) sur [0; +00[

B/Soit f(x) = x + (racine de (x²+1)) / x ( x appartient à R*)
1) montrer que f est impaire. Qu'en deduisez vous pour (C) la courbe représentative de f dans le plan rapporté au repère (o, i, j)
2)calculer limf(x) et limf(x)
x->0 x->+00
x sup 0
3) monter que f '(x)= g(x) / (x²*(racine de (x²+1)) )
dresser le tableau des variations de f sur ]0; +00[
4) ecrire une equations de la tangente (T) à (C) au point A d'abscisse 1.
5) a.montrer que la droite (D) d'équation y=x+1 est asymptote à (C). Etudier la position de (C) par rapport à (D).
b.En déduire l'existence pour (C) d'une autre asymptote oblique (D ') dont on donnera l'equation.



---->j'ai trouvé ceci mais je ne suis pas sur que c'est juste:

A/
1) lim g(x)= -1
x->0
lim g(x)= +00
x->+00
g'(x)= (x^3+ 2x^3) / (racine de x²+1)
mais je n'arrive pas à l'expliquer dans un tableau.........
2) je ne sais pas comment faire
3) je ne sais pas aussi

B/
1) f(-x)= -f(x) , je trouve f(-x)= -x - ((racine de x+1 )/ x) donc f(-x)= -f(x)
donc f impaire, donc la courbe (C) est symétrique par rapport à l'origine.
2) limf(x)= limf(x)= 1
x->0 x->+00
x sup 0
3)j'ai trouvé f '(x)= g(x) / (x²*(racine de (x²+1)) )
Je n'arrive pas à faire le tableau de variation, je n'arrive pas à expliquer.......
4) et 5) je n'y arrive pas aussi

merci de votre aide!

[Sa Majesté]

Bonjour
OK pour les limites mais la dérivée est fausse

[lala1]

je les refais et ça me donne:

g'(x) = (3x^3+ 2x) / (racine de x²+1)

[lala1]

c'est sa?

la question A/2) je ne sais pas quoi faire du tout meme si je pense qu'il faut utilser le theoreme de la bijection je ne sais pas comment m'y prendre!

[Florélianne]

Bonsoir
g(x) = x²V(x²+1) -1

u(x) = x² et u'(x) = 2x
v(x) = V(x²+1) et v'(x) = x/V(x²+1)
g'(x) = 2xV(x²+1) + x^3/V(x²+1) =
g'(x) = xVx²+1)[2+ x²/(x²+1)]
g'(x) = xV(x²+1) (2x²+2+x²)/(x²+1)=
g'(x) = xV(x²+1)(3x²+1)/(x²+1)

signe de g'(x) sur [0 ; +oo[
xV(x²+1) > 0
3x²+1 > 0
x²+1 > 0

maintenant tu peux faire le tableau de variation de g...

2° Rappel de cours
Une fonction continue sur un intervalle ne peut changer de signe sans s'annuler
Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle

pour trouver l'encadrement il suffit de calculer g(0) et g(1) ils doivent être de signe contraire donc alpha est sur ]0;1[

Déterminer alpha à 10^-² près
maintenant tu vast'approcher progressivement de la valeur de alpha, en divisant par deux l'intervalle et en ne gardant que celui ou la fonction g doit s'annuler...calcule g(0,5) dois-tu garder ]0 ; 0,5[ ou ]0,5 ; 1[ ?
continue ainsi jusqu'à ce que tu obtiennes deux valeurs de signes contraires dont l'écart est inférieur à 0,01...
du travail pour ta calculatrice !

3.En déduire le signe de g(x) sur [0; +oo[
3°) tu sais que la fonction est monotone et qu'elle s'annule pour alpha, simple de trouver son signe !

B/Soit f(x) = x + V(x²+1)/x avec x appartenant à R*
2)calculer quand x->0 lim f(x) et quand x->+oo lim f(x)
x+ V(x²+1)/x = x + V[(x²+1)/x²] = x+ V(1+1/x²)quand x --> 0
1/x² --> +oo donc 1+1/x² --> +oo donc V(1+1/x²) --> +oo
donc f(x) --> +oo

quanf x --> +oo
1/x²--> 0 donc 1+1/x² --> 1 donc V(1+1/x²) ---> 1
mais x --> +oo
donc f(x) --> +oo

3) monter que f '(x)= g(x) / (x²*(racine de (x²+1)) )
dresser le tableau des variations de f sur ]0; +00[
f(x) = x+ V(x²+1)/x

u(x) = V(x²+1) donc u'(x) = x/V(x²+1)
v(x) = x donc v'(x) = 1
f'(x) = 1 +[x²/V(x²-1) -V(x²+1)]/x²
f'(x) = 1 + 1/V(x²+1) - V(x²+1)/x² =
f'(x) = 1 + [x²-(x²+1)]/x²V(x²+1) =
f'(x) = 1 + (x²-x²-1)/x²V(x²+1) =
f'(x) = 1 - 1/x²V(x²+1)

g(x)/x²V(x²+1) = [x²V(x²+1) -1]/x²V(x²+1) =
= 1 - 1/x²V(x²+1)

donc f'(x) = g(x)/x²V(x²+1)

maintenant tu sais que x²V(x²+1) > 0 pour tout x de ]0 ; +oo[
donc le signe de f'(x) est celui de g(x) voir partie A
ceci te donne le tableau de variation

4) écrire une équations de la tangente (T) à (C) au point A d'abscisse 1.
rappel :Le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'une fonction f au point A d'abscisse a est f '(a)
ici a = 1
l'équation de la tangente est de la forme y = f '(1)x + k
calcule f '(1)
puis le point est sur la tangente donc f(1) = f '(1) + k
déduis en k

5) a.montrer que la droite (D) d'équation y=x+1 est asymptote à (C). Étudier la position de (C) par rapport à (D).
pour montrer qu'une droite est asymptote à la courbe d'une fonction, il faut montrer que la limite quand x tend vers l'infini de la distance entre la courbe et la droite est 0
donc il faut chercher : quand x --> +oo
f(x) - (x+1) --> 0 ?
f(x) - x-1 =
rappel :
f(x)= x+ V(1+1/x²)

b.En déduire l'existence pour (C) d'une autre asymptote oblique (D ') dont on donnera l'équation.
Utilise la symétrie par rapport à O
Courage et bon travail

[lala1]

Merci Florélianne mais,
pouvez vous me dire pourquoi ma dérivé est fausse s'il vous plait, merci

on a g'=u'-v'
u=x²V(x²+1) et u'=u'v+uv' = 2xV(x²+1) + (x²*2x) / 2V(X²+1)
v=-1 et v'=0

g'(x)= 2xV(x²+1) + ((2x^3 )/ 2 *V(x²+1))
= (2xV(x²+1)*2*V(x²+1) + 2x^3 ) / (2*V(x²+1))
=(4x V(x²+1)² + 2x^3) / 2*V(x²+1)
=(4x*(x²+1) + 2x^3) / 2*V(x²+1)
=(4x^3+4x+ 2x^3) / 2*V(x²+1)
= (2*(3x^3 + 2x)) / 2*V(x²+1)
=(3x^3 + 2x)) / V(x²+1)

[lala1]

question 4:

pour l'équation de la tangente je trouve y= ((V(2) - 1) / V(2))*x + ( 1/V(2) )
c'est juste??

merci

[lala1]

s'il vous plait!!

[Florélianne]

Bonjour
pouvez vous me dire pourquoi ma dérivé est fausse s'il vous plait, merci
g'(x)=(3x^3 + 2x)) / V(x²+1)
ta dérivée, est juste mais non factorisée
tu peux garder V(x²+1) au dénominateur, même si on n'aime pas garder de radicaux au dénominateur
mais tu dois factoriser ton numérateur pour trouver le sigbe de la dérivée
dans ton cas c'est : x(3x²+2)
3x²+2 > 0 le radical est positif c'est du signe de x
mais sur l'ensemble de définition, x> 0
donc on est arrivé à la même chose

question 4:
pour l'équation de la tangente je trouve y= ((V(2) - 1) / V(2))*x + ( 1/V(2) )
c'est juste??
f'(x) = 1 - 1/x²V(x²+1)
donc f'(1) = 1 - 1/V2 = 1- V2 /2 =

f(x) =x+ V(x²+1)/x donc f(1) = 1+V2

y= (1-V2 /2) x + k
1+V2 = (1- V2 /2) + k k = (1+V2) -(1-V2 /2) k=1 +V2 - 1 + V2 /2 k= 3V2 /2

y= (1- V2 /2)x +3V2 /2

En espérant n'avoir pas fait d'erreur (j'ai horreur des calculs, et je suis devenue très étourdie avec l'âge) et avoir répondu, bien que tardivement, à tes questions...

Très cordialement