Etude de fonctions

[The fifi]

Bonjour,
J'ai un autre exercice a faire mais je ne suis pas certaine de me souvenir comment faire bien que j'ai regardé dans mes cours. Voici l'énoncé :

Soit la fonction f définie sur R \ {-1 ; 1} par f(x) = ( x^3 + 2x²) / ( x²-1) et C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 2cm).

A/ Etude d'une fonction auxiliaire

Soit la fonction g définie sur R par : g(x) = x^3 -3x -4
1° Dresser le tableau des variations de g
2° Montrer qu'il existe un réel gamma unique tel que g(gamma) = 0, puis déterminer une valeur approchée à 10 ^-2 prés du réel gamma.
3° Etudier le signe de g sur R.

B/ Etude de la fonction f

1° Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de chacundes intervalles de son ensemble de définition.
2° Montrer que, pour tout x de R \ {-1;1} :
f'(x) = x.g(x) / (x²-1)² .
En déduire le tableau des variations de la fonction f.
3°
a) Montrer que, pour tout x de R \ {-1;1} :
f(x)= x +2 + (x+2)/(x²-1).
b) En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique D en +infini et - infini .
c) Etudier la position dela courbe C par rapportà D.
4° Tracer la courbe C et la droite D

C/ Nombre de solutions d'une équation

1° Déterminer l'abscisse des points de la courbe C, où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = x+2
2° Déterminer une éqation de chacune de ces tangentes et les représenter.
3° En déduire graphiquement, suivant les valeurs de m ,le nombre de solutions de l'équatin f(x) = x +m.


Dans mon prochain poste je met ce que j'ai fait pour le moment.

[The fifi]

Donc voici ce que j'ai fait pour le moment :

A/ Etude d'une fonction auxiliaire :

1°) g(x) = x^3 - 3x - 4 d'ou g'(x) = 3x² - 3
a=3 b=0 c= -3
delta = b²-4ac
= 0- 4 x 3 x (-3) = 36 delta > 0 , 2 racines

x1 = (-b - racine de delta) / 2a = (- racine 36) / 6 = -1
x2 = 1

3°) signe de g entre -infini et -1 : -
-1 et 1 : -
1 et gamma : -
gamma et +infini : +


B/ Etude de la fonction f

1°)
*quand x tend vers -1 lim x^3 +2x² = 1
lim x² -1 = 0+
donc lim de (x^3 +2x²) / (x²-1) = +infini

*quand x tend vers 1 lim x^3 + 2x² = 3
lim x²-1 = 0+
donc lim de (x^3 +2x²) / (x²-1) = +infini

2°)
f'(x) = (3x² +4x) x (x²-1) - (x^3 + x²) x 2x / (x²-1)^²
= 3 x^4 - 3x^2 + 4x^3 -4x -( 2x^4+4x^3) / (x²-1)²
= x^4 - 3x² - 4x / (x²-1)²

or g(x) = x^3 -3x -4 et si on multiplie g(x) par x on trouve x^4 -3x² -4x donc on peut dire que f'(x) = x.g(x) / (x²-1)²

3°)
a) f(x) = x+2 + (x+2) / (x²-1)
= (x+2) (x²-1) / x²-1 + (x+2) / (x²-1)
= x^" + 2x² / (x² -1)²


pour ce qu'il reste je ne trouve pas encore car je vois pas trop ou est l'asymptote oblique. voila j'aimerais qu'on me dise si ce que j'ai fais est bon ou non ! Merci d'avance.

[The fifi]

Bonjour,
Pourriez vous me dire au moins si ce que j'ai fait est bon s'il vous plait !? Merci d'avance