Etude de fonctions polynômes de degré 3

[pamplemousserose]

Bonjour j'ai une étude de fonction a faire et je bloque sur quelques question
1) Soit f une fonction polynôme de degré 3
Sur quel's) ensembles est elle définie ? continue ? dérivable ?
Ca j'ai mis que c'était sur R mais je ne suis pas sure pour dérivable

2)Quelle est l'expression générale de f ?
Quelles sont les limites possibles de f(x) quand x tend vers -in et quand x tend vers +inf ?
ca j'ai mis lexpression f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
et les limites sont pour a>0 lim x tend vers -inf est -inf et quand x tend vers +inf est +inf
le contraire pour a<0 Est ce cela ?

3) Démontrer que toute fonction poliynome de dgré 3 admet au moins une racine dasn R
ici je bloque

4) Combien de racines peut avoir une telle focntion ? (envisager tous les cas)

5) a) Trouver une fonction f1 polynome de dgré 3 admettant une seule racine
b)Trouver une fonction f2 polynome de dgré 3admettant exactement 2 racine
c)Trouver une fonction f3 polynome de dgré 3 admettant exactement 3 racine
d) Trouver une fonction f4 polynome de dgré 3 autre qu'une fonction de la forme x --> kx^3 admettant 0 pour seule racine
e) Trouver une fonction f5 polynome de dgré 3 admettant pour racine -2 , 1 et pi

Ici il faut utiliser ce qu'on a démontrer précedemment ce que je n'ai pas


Merci beaucoup !

[Trident]

3) Démontrer que toute fonction poliynome de dgré 3 admet au moins une racine dasn R
ici je bloque.

Théorème des valeurs intermédiaires...

[jack01]

Bonjour j'ai une étude de fonction a faire et je bloque sur quelques question
1) Soit f une fonction polynôme de degré 3
Sur quel's) ensembles est elle définie ? continue ? dérivable ?
Ca j'ai mis que c'était sur R mais je ne suis pas sure pour dérivable

2)Quelle est l'expression générale de f ?
Quelles sont les limites possibles de f(x) quand x tend vers -in et quand x tend vers +inf ?
ca j'ai mis lexpression f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
et les limites sont pour a>0 lim x tend vers -inf est -inf et quand x tend vers +inf est +inf
le contraire pour a kx^3 admettant 0 pour seule racine
e) Trouver une fonction f5 polynome de dgré 3 admettant pour racine -2 , 1 et pi

Ici il faut utiliser ce qu'on a démontrer précedemment ce que je n'ai pas


Merci beaucoup !

bonsoir ;
1)oui la foction est derivable en IR car elle est un polynome
2)comme vous avez dit l'expresion generale est
et pour les limites sa depent de ;
si a>0 lim x tend vers -inf est -inf et quand x tend vers +inf est +inf
et si a<0 c'est l'inverse d'ou lim x tend vers -inf est +inf et quand x tend vers +inf est -inf
3)c'est d'apres le Tableau de variation on observe ;
si la fonction se varis de valeur negative a un valeur positive (resp de positive a negative)
sa implique qu'elle admet une solution dans IR
4)d'apres encore le Tableau de variation on peux voir le nombre de solution si f(x)=0
(le chengement de signe)
par exemple admet une seul solution
donc c'est le Tableau de variation qui est la cle du tous
5)a
b)tu peux developpe tu va trouve une equation de 3 degre admet 2 racine
c)de meme pour si tu le developpe tu aura la reponse
d)l'exercice a repondre a cette quetion ; toute fonction de tube admet une seul racine si
e)soit admet les racines donc et tu le developpe


merci :ptdr:

[pamplemousserose]

D'accord merci beaucoup mais je ne comprend pas comment on peut faire un tableau de variations alors que l'on a qu'une expression générale. Et un tableau de variation ne suffit pas pour une démonstration si ?
Je n'ai pas compris la 5)d) car il demande de ne pas utiliser une fonction de la sorte kx^3
merci beaucoup :)

[pamplemousserose]

et pour trident je voulais demander comment démontrer le théoréme des valeurs intermédiaires puisque c'est demander démontrer puis lappliquer ?
Et comment expliquer pour les q 5 c'est juste de la déduction?

[Nightmare]

Salut,

3) Tu as démontré que n'importe quel polynôme de degré 3 admettait toujours des limites infinies de signe différent lorsqu'on fait tendre x vers plus ou moins l'infini (Cela ne dépend que du signe du coefficient de x^3). Dans tout les cas, tout polynôme du 3ème degré prend du coup au moins une valeur négative et au moins une valeur positive. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'il admet donc forcément au moins une racine réelle.

4) Un polynôme du 3ème degré ne peut avoir au maximum que 3 racines. Une preuve à ce niveau serait de dire qu'un polynôme qui admet une racine a est factorisable par (X-a). Si un polynôme du 3ème degré admettait au moins 4 racines a, b c et d, il s'écrirait sous la forme (X-a)(X-b)(X-c)(X-d)P(X) où P est un polynôme, donc notre polynôme serait au moins de degré 4. Contradiction

5) Ici, il n'y a rien de compliqué. Le polynôme qui s'annule en un nombre réel donné a le plus simple est X-a. Rien qu'en sachant ceci, il n'est pas dur de construire les polynômes demandés :

a) On sait que X-a admet une racine, pour avoir un polynôme de degré 3 avec une seule racine, il semble assez naturel de considérer (X-a)^3 (donc par exemple, (X-1)^3)

b) Par exemple X(X-1)²

c) (X-1)(X-2)(X-3)

d) On veut que 0 soit racine, donc il faut que ça contienne du X. Ensuite, il suffit de multiplier par un polynôme qui n'a pas de racines réelles, de sorte à obtenir un polynôme du 3ème degré. Exemple : X(X²+1)

e) (X+2)(X-1)(X-pi)

[pamplemousserose]

Ok merci beaucoup j'ai tout compris maintenant !

[jack01]

ok c'est bien

[graindefolie29]

Salut,

3) Tu as démontré que n'importe quel polynôme de degré 3 admettait toujours des limites infinies de signe différent lorsqu'on fait tendre x vers plus ou moins l'infini (Cela ne dépend que du signe du coefficient de x^3). Dans tout les cas, tout polynôme du 3ème degré prend du coup au moins une valeur négative et au moins une valeur positive. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'il admet donc forcément au moins une racine réelle.

Bonjour !
J'ai à peu de choses prêt le même exercice à faire, or, je ne comprends pas un détail qui a son importance :
Pourquoi est-ce que le signe de la limite dépendrait seulement du signe du coefficient de x^3 ? La limite dépend aussi du signe de b, c et d, non ? Il suffit que l'un d'entre eux soit négatif pour que, après avoir factorisé par ax^3 par exemple, la limite devienne plus ou moins l'infini, et cela varie de paire avec le signe de a, je me trompe ? Comment peut-on savoir, alors ? ...

Merci d'avance !