Fonction polynômes de degré 2 et degré 3

[Suarezjr]

Bonjour, je suis en 1re STMG et pour le retour des vacances scolaires notre professeur de mathématiques nous a donné un devoir maison à faire, je bloque sur le début de deux exercices et j'aimerais savoir si ceux-ci sont justes, et s'ils sont faux j'aimerais bien avoir des explications pour pouvoir continuer la suite :

Enoncé exercice 1 :
Soit h la fonction définie sur [1 ; 12] par : h(x) = x³ - 12x² + 21x +140.

1) Exprimer h'(x) en fonction de x.
2) Etudier le signe de h'(x), puis dresser le tableau de variation de h sur l'intervalle [1 ; 12].

1) h(x) = x³ - 12x² + 21x + 140 donc a = 1 b = -12 c= 21 d = 140

h'(x) = 3ax² + 2bx + c
= 3 * 1 * x² + 2 * (-12) * x + 21
= 3x² + (-24)x + 21

2) 3x² + (-24)x + 21 est un polynôme du second degré donc a = 3 b = -24 c = 21

b² - 4ac = (-24)² - 4 * 3 * 21
= 324 = 18²
▲ > 0, donc il y a deux solution distinctes :
x1 = 1
x2 = 7

Le coefficient de x2, égal à 6, est strictement positif donc le polynôme h'(x) est strictement positif.

x ⠀⠀⠀⠀1⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀7⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀12
__________________________________________________________
h'(x)⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀+
__________________________________________________________
V⠀⠀⠀⠀150⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀210⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀260
h⠀⠀⠀ --------------------------------------------------------> (Augmentation)

h(1) = 1 x 1³ - 12 * 1² + 21 x 1 +140
= 1 - 12 + 21 + 140
= 150
h(7) = 1 * 7³ - 12 * 7² + 21 * 7 + 140
= 210
h(12) = 1 * 12³ - 12 * 12² + 21 * 12 + 140
= 260

Enoncé exercice 2 :
La consommation d'essence d'un certain type de véhicule (en litres/100km), est donnée par :
C(x) = 0,0003x² - 0,085x + 9,95 où x est la vitesse en km/h. On suppose que x appartient à [0 ; 150]. On souhaite savoir quelle est la distance maximale que l'on peut parcourir avec un plein de 50 litres à vitesse constante.

1) Calculer C'(x).
2) Déterminer le signe de C'(x) sur [0 ; 150].
3) En déduire les variations de C sur [0 ; 150].
4) Quelle est alors la vitesse rendant la consommation minimale ?

1) C(x) = 0,0003x² - 0,085x + 9,95 donc a = 0,0003 b = -0,085 c = 9,95
C'(x) = 2ax + b
= 2 * 0,0003 * x + (-0,085)
= 6 * 10^-4 + (-0,085)
= 0,0006x + (-0,085)

0,0006x + (-0,085) = 0
0,0006x = 0,085
x = 0,085 / 0,0006
x = 141,66

2) Le signe de C'(x) est négatif sur [0 ; 141,66] et est positif sur [141,66 ; 150].

3) Sur [0 ; 150], C est décroissante puis croissante.

4) La vitesse rendant la consommation minimale est d'environ 16,68 km/h.

Merci beaucoup d'avance !

[Lostounet]

Bonjour,

▲ > 0, donc il y a deux solution distinctes :
x1 = 1
x2 = 7

Le coefficient de x2, égal à 6, est strictement positif donc le polynôme h'(x) est strictement positif.

Le coefficient de x^2 est égal à 3 et non pas 6.
De plus, le raisonnement est faux: ce n'est pas le signe du coefficient de x^2 qui détermine le signe du trinome (du moins pas totalement).

On sait que, entre les racines x1 et x2, le trinome est du signe contraire au signe du coefficient.
En gros sur [1;7], h'(x) <= 0 et donc h décroissante sur [1;7]. Partout ailleurs, h est croissante.

De ce fait, si tu regardes pour x = 5 et x = 6, on a:
h(5) = 5^3 - 12*5^2 + 21*5 + 140 = 70

h(6) = 6^3 - 12*6^2 + 21*6 + 140 = 50

donc clairement h n'est pas croissante là-dessus.