J'ai un problème à résoudre. J'arrive à faire toutes les questions sauf la dernière... Pouriez-vous m'aider svp ?
Je vous mets l'exercice en entier !
On considère la fonction f définie sur [0, pi] par f(x) = exp(;)cos x).
On note Cf sa courbe représentative dans un repère (O, i , j) du plan.
Le but de lexercice est de déterminer le nombre de tangentes à Cf passant par lorigine O du repère.
1) a) Déterminer léquation de la tangente Ta à Cf au point dabscisse a de [0,pi ]. Ma réponse : y= exp(-cos a) (x*(sin a) - a*(sin a) +1)
b) Montrer que Ta passe par O si et seulement si a sin a = 1. C'est une résolution d'équation, pas de problème !
2) Soit la fonction fi définie sur ]0,pi] par fi(x) = sin x
1/xa) Étudier les variations de fi' sur ]0,pi]. Ma réponse : j'ai utilisé la dérivée seconde et je trouve que fi' est décroissante.
b) En déduire que la fonction fi admet un maximum absolu M quelle atteint en un unique x0 de lintervalle ]0,pi]. Ma réponse : fi' est positive puis négative d'après la question d'avant, donc fi est croissante puis décroissante. fi admet donc un maximum M en x0.
c) Calculer fi' de (pi/2) et en déduire la position de pi/2 par rapport à x0. Ma réponse : fi' (pi/2)= 4/(pi)² qui est positif, donc (pi/2) est inférieur à x0.
d) Calculer fi de (pi/2) et en déduire le signe de M. Ma réponse : fi(pi/2) = 1-(2/pi) qui est positif donc fi (pi/2) inférieur à M car fi est croissante sur l'intervalle ]0; x0]
3) À laide des questions précédentes, déterminer le nombre de tangentes à Cf qui passent par O. Et là je suis coincé. Je vois bien qu'on a étudié la fonction qui se ramène à "Ta passe par O si et seulement si a sin a = 1. "
Mais ???
Merci de votre réponse !
