Etude de la fonction f(x)=1/(1+x^2)

[tatiana 1991]

bonjour a tous je suis en ts et j'ai un Dm que j'arive pas a faire, ca fait trois jours que je suis dessus et g rien de vrément achevevé . j'ai entamé chaque question ms imposible de les finir voici lexercice
on cosidére la fonction f définie sur R par f(x)=1/(1+x^2) F désigne la primitive de f qui vérifie F(0)=0
1/ démonter que F et impaire en introduisant la fonction g(x)=F(-x)+F(x).
j'ai calculer la dérivé de g:
g'(x)=F'(x)-F'(x)
2/on pose x apartenant a [-pi/2;pi/2] h(x)=(F.tan)(x)=F(tan(x))
a) justifier ke h est dérivable sur [-pi/2;pi/2] et calculer sa dérivéé
j'ai trouver que h'(x)=1
b) en conclure que F(tan(x))=x
c)valeur exacte de F(1/2) et F(1)
3/on pose pour x appartenant a [0;+inf] P(x)=F(x)+F(1/x)
a)justifier que p est derivable sur [0;+inf] et calculer sa dérivé
j'ai trouver que p'(x)=1 ms je ne sui vraiment pa sure
b)en déduire que pr xappartenant a [0;+inf] F(x)=pi/2-F(1/x)
c)que vaut F(2)
d)déterminer la limite de F(x) lorsque x tend vers +inf
e)en déduissant le fait que F est impaire déterminer la limite de F(x) losque x tend vers -inf
qu'en déduit on de la coube C
f)trouver une relation analogue à celle obtenu précédament lorsque x appertient a [-inf;0]
4/ en déduire le sens de variation de F
5/on note T la tengente a C au point d'abscisse 0
a)déterminer l'équation réduite de T
b)étudier la position de t par rapport à T
j'ai déja fait les question 1 et 2a
s'il vous plait aider moi je suis vraiment désespére
merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Pour le 2)b), vu que tu as trouvé que h'(x)=1, que pense tu de la dérivée de la fonction h(x)-x ? Qu'en déduit tu ?

Pour le 2)c), essaye de trouver un x tel que tan(x)=1 puis applique le résultat du 2)b). Idem pour 1/2 (sauf que dans ce cas, le "x" tu peut seulement en donner une valeur aprochée à la machine...)

Pour le 3)a), tu as fait une erreur de calcul, tu devrais trouver 0...
3)b) est une déduction du 3)a) (mais il faut que le 3)a) soit juste...)
3)c) on utilise le 3)b) et le 2)c)
3)d) on utilise la formule du 3)b) pour se rammener à la limite en 0
3)e) facile avec les indics
3)f) recopier complètement le 3)a) sauf pour trouver la valeur de la constante.....

4) On a beau ne pas trés bien connaitre F, on connait trés bien sa dérivée puisque c'est f (définition d'une "primitive") donc le signe de la dérivée est super façile et on a déjà calculé les limites en +oo et _oo

5)a) Trés facile aussi puisqu'on connait trés bien la dérivée de F et on connait aussi F(0)
5)b) Un peu plus compliqué : il faut étudier la fonction F(x)-T(x) où T est l'équation de la tangente. comme on connait pas bien F mais trés bien sa dérivée, pou étudier cette fonction, on la dérive et on fait le tableau de variation.

Bon courage... (et bonne nuit, je vais me coucher...)

[Ericovitchi]

non g'(x)=F'(x)-F'(-x)
mais F'(x)=1/(1+x^2) et F'(-x)=1/(1+x^2) aussi donc g'(x)=0
donc g(x)= constante

Si tu as trouve que h'(x)=1 tu devrais en déduire facilement que F(tan(x))=x

[Sylviel]

Pour information il s'agit de la fonction arctan qui est la réciproque de la fonction tangeante réduite à l'intervalle qui va bien. Sinon tu devrais soigner ton orthographe (ke, mélange er -é, et au lieu de est...) car ça aussi ça coûte des points...

[benekire2]

c'est un exercice type très intéressant à faire en Term. Néanmoins , il n'est pas des plus évidents , je conçois.

[tatiana 1991]

encore merci à vous, j'ai une toute dernière quetion sur les suites
on pose pour tout entier n S(n)=somme de k=0 à n de F(1/(1+k(k+1))
a/démontrer que pour tous réel a et b possitifs ou nuls on a : f(a)-f(b)=F((a-b)/(1+ab))
b/en déduire que S(n)=F(n) et en déduire que la suite S est convergente.