étude de fonction

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 11:40

Salut , j'ai un polynome noté f(x) = x²-6x+8 / x-3 , je dois étudier les variations de ce polynome , pour çà j'ai simplifié l'écriture en faisant une division , et j'ai réécrit ma fonction : f(x) = x - 3 - 1/(x-3) , et je dois donc calculer sa dérivée , la dérivé e de x ici c'est 1 , la dérivée de 3 c'est 0 , mais comment calculer la dérivée de -1/(x-3) s'il vous plait?

par **mathador** » 16 Juin 2005, 11:53

Salut,
je crois que tu t'es trompé dans ta division ...
Tu n'as pas à simplifier l'écriture ici : tu dérives directement
x² se dérive en 2x
-6x se dérive en -6
-1/(x-3) , de la forme 1/u se dérive en -u'/u², donc ici en 1/(x-3)²
Ta dérivée s'exprime donc par un polynôme du premier degré, dont le signe s'étudie facilement.
Bonne continuation !

par **leibniz** » 16 Juin 2005, 11:54

Salut,
cette dernière est de la forme 1/f.
on (1/f)= -f'/f². Donc je te laisse faire le reste ;)

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 11:59

non je ne me suis pas trompé dans ma division de polynomes , faut me prouver le contraire alors :) , je suis certain d'avoir bon .

par **julian** » 16 Juin 2005, 12:01

moi jferai comme ca:
f(x)=x²-6x+8/x-3
avec u(x)=x²-6x+8 et u'(x)=2x-6
v(x)=x-3 et v'(x)=1

donc f(x)=u(x)/v(x)
f'(x)=u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)/[v(x)]²
f'(x)=(2x-6)(x-3)-(x²-6x+8)/(x-3)²
f'(x)=2x²-6x-6x+18-x²+6x-8/(x-3)²
f'(x)=x²-6x+10/(x-3)²

(x-3)² est strictement positif d'après le quotient nul
donc f'(x) est du signe de x²-6x+10
et après je calculerai les racines de ce trinôme s'il y en a
et après la suite habituelle...

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 12:11

Entièrement d'accord avec toi Julian ;-)
++

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 12:12

oui mais dans l'énoncé ils me demandaient de réécrire la fonction sous la forme f(x) = x + m + p/(x-3) , et pour çà j'ai fait une division , et j'ai obtenu le résultat que j'ai donné , ma division est elle juste? je suis certain que oui mais je peux me tromper , mathador pense que j'ai faux donc si quelqu'un peut vérifier , j'ai divisé x²-6x+8 par x-3

par **julian** » 16 Juin 2005, 12:22

x + m + p/(x-3) <=> x+m + [p/(x-3)] ???^pcq jmembrouille dans les notations là

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 12:23

Non c'est bon, j'ai fait la division puis c'est bien ça qu'on trouve (sauf si je me suis planté également :-) ) . Il suffit ensuite de dérivée l'expression obtenue comme indiqué dans les posts. Puis quand on compare les dérivées des deux formes on s'apperçoit que c'est bien la même chose donc c'est bon !

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 12:37

pour la dérivée , je trouve f'(x) = 1 + 1/(x-3)² , en effet , si je dérve x ça me fait 1 , si je dérive 3 ça me fait 0 , si je dérive - 1 / (x-3) ça me donne 1/(x-3)²

par **leibniz** » 16 Juin 2005, 12:39

Oui, c'est exact. Donc pour tout x Df: f'(x)>0 alors f est strictement croissante.....
Bonne continuation :)

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 13:10

tiens , pourquoi on s'amuse pas à calculer les racines de l'équation , car ce n'est pas une parabole?

par **rene38** » 16 Juin 2005, 13:34

Bonjour

Donc pour tout

de

, la dérivée est positive (et même supérieure à 1)
et donc la fonction est strictement croissante sur son domaine de définition.

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 14:18

oui merci rene on avait trouvé mais par rapport à ma question précédente , on ne calcule pas les racines car ce n'est pas un polynome du second degré?

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 14:26

Ben il suffit de trouver les valeurs pour lesquelles la fonction s'annule.
Il faut trouver x tel que x²-6x+8=0, ce qui donne x=2 ou x=4. Voilà !

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 15:17

ben je comprends plus rien , je pensais que la fonction était toujours croissante , alors comment peut elle s'annuler !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 15:20

ah je comprends , la fonction de compose de 2 courbes , moi je pensais qu'elle se composait que d'une courbe , on voit mieux en faisait un schéma :)

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 15:30

Oui attention c'est pas parce que la fonction est croissante qu'elle s'annule jamais ! Par exemple, la fonction y=x+1 est croissante sur R et s'annule au point x = -1. Dans ton cas la non continuité de la fonction permet d'avoir deux points qui l'annule, ça fait "deux courbes" comme tu l'as dis. Tu as ce même type de courbe avec tan(x) où là y'a une infinité de point qui annule la fonction (parce qu'elle est périodique) bien qu'elle soit toujours croissante :-)
++

par **Anonyme** » 16 Juin 2005, 16:04

On me demande maintenant ( c'est la dernière question :) ) , de calculer en cm² l'aire de la partie du plan limitée par la courbe C , les droites d'équations x=4 , x=10 , et y=x-3 .

Alors comme la courbe ne touchera jamais x-3 , ça revient à dire à calculer l'aire délimitée par x=4 , x=10 , et y = x-3 , donc on calcule la primitive de x-3 , ce qui nous donne Y = 1/2 * x² + 3x

et ensuite on soustrait la primitive de 4 à celle de 10 pour avoir l'aire , ça fait donc :

1/2 * 10² + 30 - 1/2 * 4² + 12 = 60cm² . ça colle pas trop avec le schéma je trouve :(

par **rene38** » 16 Juin 2005, 16:37

Une primitive de f est F telle que

L'aire de la partie de plan située entre les droites d'équations x=4 et x=10, la courbe et l'axe des abscisses est S=F(10)-F(4)

L'aire cherchée est donc (l'aire du trapèze limité par les droites d'équations x=4 , x=10 et y=x-3 et l'axe des abscisses) - S

Comme on demande l'aire en cm², reste à vérifier que l'unité graphique est le centimètre.
Je trouve ln(7) soit environ 1,95

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