étude de la fonction f

[marocain94]

bonjour , j'ai commencé cette exo je sollicite votre aide merci d'avance

On appelle f la fonction définie pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0,;)[ par f(x)=x-1+(2lnx-1)/x
On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (0,i,j) d'unité 2cm.

1)determinier les limites de f en 0 et en +;)
2)étude d'une asymptote
a) démontrer que C admet pour asymptote la droite D d'équation y=x-1
b)déterminer les coordonnes du point d'intersection de C et D
c)etudier les positions relatives de C et de D

1)j'ai fait lim lorsque x tend vers 0 de (2lnx-1)/x = -;) et lim x-1 lorsque x tend vers 0 = -1 donc lim f(x) lorsque x tend vers 0 = -;) ; apré lim (2lnx-1)/x lorsque x tend vers +;)= 0 et lim x-1 lorsque x tend vers +;)= +;) , donc lim f(x) lorsque x tend vers + ;)=+;).

[annick]

bonsoir,
pour prouver qu'une droite est asymptote à une courbe, il suffit de calculer
f(x)-y et de prouver que lim(f(x)-y)=0 en - ou + 00

[marocain94]

lim (2lnx-1)/x lorsque x tend vers +;)= 0 donc la droite d'équation y=x-1 est asymptote oblique à C en + ;)

[annick]

oui, c'est cela

[marocain94]

(2ln(x)-1)/x=0.
Or une fraction est nulle dès lors que son numérateur l'est.
On a donc 2ln(x)-1=0, c'est-à-dire ln(x)=1/2

[marocain94]

pour f(x)-(x-1) : quand x tend vers 0 (2lnx-1)/x est négatif donc C est en dessous de la droite D
quand x tend vers +;) (2lnx-1)/x est positif donc c est au dessus de la droite

[annick]

je ne crois pas que tu as répondu totalement à tes dernières questions:

je suis d'accord,lnx=1/2, donc x=e^1/2. Donc les coordonnées du point d'intersection sont (e^1/2,f(e^1/2)

Ensuite,il faut que tu vois ce que devient le signe de f(x)-y pour xe^1/2

[marocain94]

pour x et pour x>e^1/2 C est au dessus par rapport à D

[annick]

c'est tout-à-fait exact, ce que tu peux d'ailleurs vérifier sur ta calculatrice

[marocain94]

merci pour votre aide, j'y vais bonne nuit !