Etude de fonction

[fpaco]

Bonjour. J'ai un exo sur lequel je bloque.
Voici l'exo :
Soit
Avec

Etudier la continuité, la dérivabilité et la continuité de la dérivée de

Pour la continuité je pense qu'il faut démontrer que les fonctions carré et sinus sont continues sur .
Pour qu'une fonction soit continue sur E, il faut qu'elle soit définie en tout a de E et que . Cependant je n'arrive pas à montrer que la fonction sinus est continue .
Merci de votre aide…

[jlb]

Tu as f(0)=0
Donc la question est de savoir si: x^2sin(1/x) tend vers 0 quand x tend vers 0.
Et ensuite de savoir si la fonction dérivée est continue (et définie?) sur l'intervalle de définition de f.

[jlb]

Que sais-tu sur la fonction sin? Une bonne propriété "bourrin"....de majoration.

[fpaco]

Ok pour la continuité.
J'ai dit que x^2 sin(1/x) = x* sin(1/x) / (1/x) et je sais que Donc par composition des limite x^2 sin(1/x) tend vers 0 en 0

[fpaco]

Par contre pour la dérivabilité je bloque.
Je par du rapport mais je n'arrive pas a transformer de sorte que je puisse faire tendre h vers 0 .

[jlb]

euh? a=0!!! tu trouves quoi!!!

Sinon ce n'est pas une composition de limites!! pb de vocabulaire

Je te guide un peu... il va falloir utiliser l'information suivante: |sin(a)|=<1| pour tout a réel

[fpaco]

Je trouve 0=<|x^2sin(1/x)|=< |x| et donc (th des gendarmes) f(x) tend vers 0 en 0.
C'est bon?

[jlb]

Oui, c'est bon pour la continuité. [ta méthode était juste mais c'est la propriété du produit de limites]
Ensuite c'est la même méthode pour la dérivée: tu as (f(x)-f(0))/(x-0) = x sin(1/x) et tu appliques la même méthode. pour trouver la limite
Finalement, tu dérives l'expression de f et tu cherches si f' admet une limite égale à 0. (f'(x)=2xsin(1/x) -cos(1/x))
Et là, je ne sais pas ce que tu connais. Je te donne une piste, considère la suite de valeurs (1/(2pi.k)), k entier naturel non nul, et calcule f'(1/(2pi.k))....
Bonne chance

Relis le message de 17h33...je ne t'ai pas donné la bonne formule, un peu fatigué, désolé.