étude de fonction fn(x)=x^n+x-1

[Amanda1703]

Bonjour !

J'ai un Devoir Maison à rendre et je bloque, donc ca aurait été génial si qql aurait pu me mettre sur la voie.
Voilà, on me donne la fonction fn(x)=x^n+x-1 définie sur R avec n appartient à N*

1. Montrer que l'équation fn(x)=0 a une unique solution du ]0;1[
2. On note (un) cette solution. Montrer que la suite (un) est majorée.
3. a. démontrer que si x0 est une solution de fn(x)=0, alors fn+1(x0)=x0^n (x0-1)
b. Déterminer le signe de fn+1(un) puis montrer que (un) est croissante.
4. Démontrer que (un) est une suite convergente.

Je pense avoir réussi la 1, en utilisant le th des valeurs interm appliquées aux fonctions strictement monotomes, j'ai d'abord prouvé que fn est strictement croissante en calculant la dérivée, f'n(x)=nx^n-1 +1 (n>0 donc f'n>0 sur ]0,1[ et f strictement croissante sur ]0,1[ ).

Cependant je reste bloquée à la deux, je vois pas comment (un) qui est l'unique solution de fn(x)=0 sur ]0,1[ peut être une suite et ce qu'elle peut valoir...

Merci d'avance à ceux qui vondront bien m'aider !

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Tu seras d'accord que représente une suite de valeurs, car selon l'expression de sur [0,1] n la solution ne sera certainement pas la même.

[Amanda1703]

En effet ça paraît logique quand tu le dis ! Merci !

Ensuite, la solution de fn(x)=0 étant sur ]0,1[, la suite est majorée par 1 ?
Y a-t-il une autre justification à donner ? Et est-ce que je peux dire qu'elle est majorée par 1 quand j'exclue la valeur 1 de mon intervalle (je m'excuse si ma question semble bête, nous n'avons pas encore vu cette notion en cours :doh: )

[Kikoo <3 Bieber]

Montre que cette suite est majorée, c'est-à-dire qu'il existe un réel M qui ne pourra jamais être dépassé par toutes les valeurs de ta suite.

[Amanda1703]

J'ai donc un=x^n+x-1 et je calcule lim de un quand n tend vers +inf sachant que x appartient à ]0,1[ ? et je trouve 1 ?

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai donc un=x^n+x-1 et je calcule lim de un quand n tend vers +inf sachant que x appartient à ]0,1[ ? et je trouve 1 ?

Ce serait de toute manière faux : tend vers l'infini lorsque n tend vers l'infini.
Il te faut montrer que pour tout n de , .
Or vérifie d'où . Pour tout appartenant à [0;1] la quantité est inférieure à 1.

[Amanda1703]

Ce serait de toute manière faux : tend vers l'infini lorsque n tend vers l'infini.
Il te faut montrer que pour tout n de , .
Or vérifie d'où . Pour tout appartenant à [0;1] la quantité est inférieure à 1.

Je comprends que pour montrer que (un) est majorée par 1 il faut montrer que un<1 mais je ne vois pas d'où sort le uk^n=1-uk ?? (désolée!)

[Kikoo <3 Bieber]

Je comprends que pour montrer que (un) est majorée par 1 il faut montrer que un<1 mais je ne vois pas d'où sort le uk^n=1-uk ?? (désolée!)

est solution de donc satisfait cette équation.

[Amanda1703]

est solution de donc satisfait cette équation.

Ce n'est pas suffisant de dire que puisque (un) est la solution de fn(x)=0 sur ]0,1[, tout (un) appartient à ]0,1[ et la suite (un) est donc majorée par 1 ??
J'avoue que je ne suis pas très à l'aise avec uk^n, je ne comprends pas pourquoi uk^n est égal à 1-uk (?)

[Kikoo <3 Bieber]

Montrer qu'une suite est majorée, c'est montrer que tous ses termes sont inférieurs à une certaine valeur.
Ce que tu dis n'est pas très rigoureux, même si juste.

Le fait est que satisfait l'équation donc nous écrivons d'où

[Amanda1703]

Montrer qu'une suite est majorée, c'est montrer que tous ses termes sont inférieurs à une certaine valeur.
Ce que tu dis n'est pas très rigoureux, même si juste.

Le fait est que satisfait l'équation donc nous écrivons d'où

Ah d'accord !!! J'ai compris !
Et donc pour prouver que fn+1(x0)=x0^n (x0-1)
Je pars de x0^n (x0-1) = x0^n+1 - x0^n = x0^n+1 -(1-x0) car x0^n+x0-1=0 et finalement cela est égal à x0^n+1 +x0 -1 c'est à dire fn+1(x0) ????

[Amanda1703]

Je suis désolée cela n'est pas très lisible, je ne sais pas rédiger comme tu le fais :triste:

[Kikoo <3 Bieber]

Ah d'accord !!! J'ai compris !
Et donc pour prouver que fn+1(x0)=x0^n (x0-1)
Je pars de x0^n (x0-1) = x0^n+1 - x0^n = x0^n+1 -(1-x0) car x0^n+x0-1=0 et finalement cela est égal à x0^n+1 +x0 -1 c'est à dire fn+1(x0) ????

Très bien

[Amanda1703]

Très bien

Super !
J'ose te demander encore un peu de ton temps, pour trouver le signe de fn+1(un), je cherche à déterminer le signe de fn+1(x0) ? ou je suis carrément à côté ?

Ensuite, pour démontrer que (un) est une suite qui converge, cela suffit de dire que (un) est une suite croissante majorée ?

[Kikoo <3 Bieber]

Super !
J'ose te demander encore un peu de ton temps, pour trouver le signe de fn+1(un), je cherche à déterminer le signe de fn+1(x0) ? ou je suis carrément à côté ?

Ensuite, pour démontrer que (un) est une suite qui converge, cela suffit de dire que (un) est une suite croissante majorée ?

Il te suffit de prendre la relation précédente et tu vois facilement que est tout le temps négative car

Exact pour ta conclusion.