Etude de fonction, intégration

[chombier]

La petite colle du dimanche soir :



Montrer que pour tout entier naturel k,

Il me parait évident qu'il faut montrer que f est décroissante mais je n'y arrive pas...

[Ben314]

Salut,

où avec
puis avec
et enfin pour donc et .
Donc est décroissante (sur ) et, comme est croissante, c'est que est décroissante (sur )

[chombier]

Merci Ben mais tu n'aurais pas un peu plus élémentaire ? C'est pour des terminales (question 4a) :

[Pseuda]

Hum.

[chombier]

Elle est très moche la primitive de f :





De toutes manières, f est positive, donc F est croissante, mais dans tous les cas ça ne nous apprends rien sur le sens de variation de f

D'ailleurs il faut aussi prouver que F a une limite en +l'infini, je n'y arrive pas non plus

[Ben314]

Non, je t'avoue que je vois pas (j'ai un peu regardé avec Maple si en passant par la forme explicite de on pouvait faire quelque chose, mais effectivement, c'est assez dégueu...)

Sinon, dans le post précédent, si c'est c'est la composition par l'exponentielle qui te semble compliqué, c'est juste "pour le fun" (i.e. ça raccourci légèrement les calculs), mais c'est pas du tout indispensable.

L'autre option qui me vienne à l'esprit c'est de juste dire "on voit sur la courbe donnée que la fonction est décroissante", mais vu le niveau du reste du sujet (qui est très sérieux), ça m'étonnerais pas mal que ce soit ça qui est attendu....

[chombier]

Si tu as encore de l'énergie, il faut aussi prouver que F a une limite en +l'infini, je n'y arrive pas non plus

[Ben314]

D'ailleurs il faut aussi prouver que F a une limite en +l'infini, je n'y arrive pas non plus

C'est pas super compliqué, mais... c'est pas super évident non plus (surtout pour des terminales !!!!)

[chombier]

Merci beaucoup Ben, je devrais m'en sortir avec ça.
Je trouve ça très technique, c'est pas les exercices que je préfère, mais je vais faire avec, c'est imposé !

Leur prof m'a envoyé une page d'exos à 19 heures, et je dois faire ça avec ses TS demain matin...
il ne me ménage pas !

[Ben314]

Sinon, pour la décroissance de , surtout avec la question b. où on a calculé , c'est pas archi la mer à boire :

Et l'étude de est simple.

Pour moi, LA astuce là dedans (auquel quasi aucun terminale ne peut penser à mon avis), c'est de multiplier l'inégalité à démontrer par pour que le soit "tout nu" (i.e. sans coeff. multiplicatif devant) de façon à ce qu'il disparaisse à la dérivation lors de l'étude des variations de .

Sinon, perso, je pense que je me permettrais de rajouter (au moins) une question supplémentaires juste avant la 4)a), à savoir :
- Étudier la fonction et en déduire le sens de variation de .

[infernaleur]

plutôt ?
(et bien vu l'astuce)

[Ben314]

plutôt ?
(et bien vu l'astuce)

Oui, sûrement....
A mon age, plus, moins, moins, plus... quelle importance au fond...

[Pseuda]

La petite colle du dimanche soir :



Montrer que pour tout entier naturel k,

Il me parait évident qu'il faut montrer que f est décroissante mais je n'y arrive pas...

Bonsoir,

Un peu tard, cette fonction est visiblement décroissante : .

C'est un produit et une somme de fonctions strictement positives et décroissantes sur , donc la fonction est décroissante sur cet intervalle. On prend 1<=a<b, et on déroule (sauf pour x\e^x où on dérive).

Si je ne dis pas de bêtises...

Un élève de Terminale peut y penser, s'il a gardé des souvenirs de 2nde.