[niveau TS] étude de fonction, blocage!

[hec]

bonjour! est-ce que vous pouvez m'aider pour la question c) car je bloque (et si vous pouvez me dire si le reste est juste aussi svp!) :

soient f et g définies sur R+ tq
f(x)=x / (exp(x) +1) et g(x)=(1-x)exp(x) + 1

a)calculer la dérivée de f
f dérivable sur R+ en tant que quotient de fct dérivables sur R+
f'(x) = g(x)/(exp(x)+1)²

b) étudier g et montrer que f'x)=0 admet une solution k et une seule sur R+
g dérivable sur R+
g'(x) = -x.exp(x)
g(0)=2 et lim g(x) = -8 en +8
g admet un majorant sur R+ en 0 qui est 2.
g strictement décroissante et continue sur R+

puisque f'(x)=g(x))/(exp(x)+1)² et (exp(x)+1)²>0 et continue sur R+
alors f' strictement décroissante et continue sur R+

(je ne sais pas comment lever l'indétermination pour calculer la limite de f' en +8...)

donc daprès le théorème de la bijection, pr tout y€f(R+), il existe un unique k€R+ tq f'(k)=0

c) Prouver que f(k)=k-1 là je vois pas ...

merci de votre aide ! :hum:

[Zebulon]

Bonsoir,

soient f et g définies sur R+ tq
f(x)=x / (exp(x) +1) et g(x)=(1-x)exp(x) + 1

a)calculer la dérivée de f
f dérivable sur R+ en tant que quotient de fct dérivables sur R+
f'(x) = g(x)/(exp(x)+1)²

OK.

b) étudier g et montrer que f'x)=0 admet une solution k et une seule sur R+
g dérivable sur R+
g'(x) = -x.exp(x)
g(0)=2 et lim g(x) = -8 en +8
g admet un majorant sur R+ en 0 qui est 2.
g strictement décroissante et continue sur R+

OK

puisque f'(x)=g(x))/(exp(x)+1)² et (exp(x)+1)²>0 et continue sur R+
alors f' strictement décroissante et continue sur R+

Comment trouvez-vous que f' est strictement décroissante sur ? Pour étudier les variations de f', il faudrait étudier le signe de f''.

donc daprès le théorème de la bijection, pr tout y€f(R+), il existe un unique k€R+ tq f'(k)=0

Appliquez plutôt le théorème de la bijection à g et trouvez alors la solution de f'(x)=0.

[hec]

ok merci beaucoup!