Tn est elle arithémetique

par **Rokoko** » 30 Déc 2009, 17:55

Bonjour j'ai comme un petit problème Voila un exo fort dur

Soit Un la suite arithmétique de raison -1/2 pour tout n strictement superieur à
1 avec U1=3

1) Exprimer Un en fonction de n
Sa c'est fait
2) a) Soit Sn= U1 + U2 + ... Un et Tn = Sn/n
Exprimer Sn puis Tn en fonction de n

Donc nous trouvons (on est deux) cela comme résultat
Par application du cour et simplification puis vérification en remplacent n par 2 puis 3 puis 4 pour être bien sur
Sn = -1/2n² + 4n -1/2 et donc Tn (-1/2n² + 4n -1/2)/n

2)b Montre que (Tn) est arithmétique.

Mais la on trouve que r la raison de cette suite est différente a chaque fois !!!

Est-ce normal ?? Si oui r est t-il dépendant de n ???

Merci d'avance

par **Ericovitchi** » 30 Déc 2009, 18:38

non moi je trouve Sn=(15n-n²)/4 et donc Tn=(15-n)/4
(qui est bien arithmétique).

Montres moi tes calculs si tu veux.

par **Rokoko** » 30 Déc 2009, 19:31

On sait que Un = 3 + (n-1)(-1/2)

Et Sn = U1 + U2 + +Un

Une suite arithmétique se définissant par
Un = U1 + (n-p)*r
Et r = Un car : Un+1 = Un + r , r = Un+1 - Un
3 + (n+1-1)(Un+1) - 3 +(n-1)(Un)

Alors Sn = U1 + (n-1)(Un)

Sn= 3 + (n-1)(3 +(n-1)(-1/2))

Sn= 3 + (n-1)(3+-1/2n+1/2)

Sn= 3 +(n-1)(7/2-1/2n)

Sn=3+7/2n -1/2n² - 7/2 + 1/2n

Sn= 3 + 4n -1/2n²-7/2

Sn =-1/2n²+ 4n -1/2

Et vous comment avez vous trouvez les 2 resultats svp ? on va dire que j'arrive pas a comprendre comment vous avez fait

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2009, 19:40

Rokoko a écrit:On sait que Un = 3 + (n-1)(-1/2)

Jusque là c'est bon

Rokoko a écrit:Et Sn = U1 + U2 + +Un

Une suite arithmétique se définissant par
Un = U1 + (n-p)*r

Ce ne serait pas Un = Up + (n-p)*r ?

Pars de Un = 3 + (n-1)(-1/2) = -n/2 + 7/2

par **Rokoko** » 30 Déc 2009, 19:49

et comment, tu as touver ton resultat ??

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2009, 19:56

Je suis parti de Un = 3 + (n-1)(-1/2) = -n/2 + 7/2

Un = -n/2 + 7/2
U(n-1) = -(n-1)/2 + 7/2
...
U1 = -1/2+7/2

et j'ai sommé toutes ces égalités

par **Rokoko** » 30 Déc 2009, 20:04

a) Soit Sn= U1 + U2 + ... Un et Tn = Sn/n
Exprimer Sn puis Tn en fonction de n

comment tu as fais pour la question de Sn ??? j'ai pas compris ta reponse avec U1 et tout x) vraiment desole

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2009, 20:17

Tu as plusieurs façons de faire
Par ex tu écris 2 fois Sn : 1 fois en montant les indices, 1 fois en les descendant

Sn = U1 + U2 + ..... + Un
Sn = Un + U(n-1) + ...+ U1

Et tu sommes
2Sn = (U1+Un) + (U2+U(n-1)) + ...(Up+U(n-p+1)) + ... + (Un+U1)

Toutes les sommes entre parenthèses sont égales (à toi de le prouver)

par **Rokoko** » 30 Déc 2009, 20:36

Notons Sn = u1 + u2 + ... + un-1 + un la somme des n termes d' une progression, d' après la formule [ i ] la somme s' écrit
Sn = a + a + 2r + ... + a + r × ( n - 2 ) + a + r × ( n - 1 ).
En additionnant 2 fois la somme une fois dans l' ordre croissant et une fois dans l' ordre décroissant
[ a ] + [ a + r ] + ... + [ a + r × ( n - 1 ) ]
[ a + r × ( n - 1 ) ] + [ a + r × ( n - 2 ) ] + ... + [ a ]
____________________________________________________
[ 2a + r × ( n - 1 ) ] + [ 2a + r × ( n - 2 ) + r ] + ... + [ 2a + r × ( n - 1 ) ]
On obtient
2Sn = [ 2a + r × ( n - 1) ] + [ 2a + r × (n - 2) + r ] + ... + [ 2a + r × (n - 1) ]
2Sn = [ 2a + r × (n - 1) ] + [ 2a + r × (n - 1) ] + ... + [ 2a + r × (n - 1) ]
2Sn = n × [ 2a + r × (n - 1) ]
2Sn = n × [ a + a + r × (n - 1) ]
2Sn = n × [ a + a + r × (n - 1) ]
comme u1 = a et un = a + r × (n - 1)
on obtient
2Sn = n × [ u1 + un ]
Nous trouvons ainsi la règle suivante :
La somme des termes d' une progression arithmétique est égale à la demi somme des extrêmes multipliée par le nombre des termes.
Cette règle est exprimée par la formule :
Sn = n × [ u1 + un ] / 2

Comme sa ??? mais sa me donne faux ......

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2009, 21:03

Non c'est bon
Sn = n × [ u1 + un ] / 2

Remplace U1 par sa valeur et Un par son expression en fonction de n

par **Ericovitchi** » 30 Déc 2009, 21:20

Alors moi pour trouver le résultat, effectivement je suis parti de
Un = 3 + (n-1)(-1/2) = -n/2 + 7/2
Un-1= -(n+1)/2+7/2
----------

U2=-(3/2) + 7/2
U1= -1/2 + 7/2

On additionne tout membre à membre
U1+...+Un = (-1/2)(1+2+...+(n-1)) + 7n/2 = (-1/2)((n-1)n/2 + 7n/2 = (15n-n²)/4

par **Rokoko** » 31 Déc 2009, 00:34

II. Exprimez Sn et Tn en fonction de n :

On sait que Un = 3 + (n-1)(-1/2)

Et Sn = U1 + U2 + +Un

Sn = 3+(1-1)*(-1/2) + 3+(2-1)*(-1/2) + ..... + 3+(n-2)*(-1/2) + 3+(n-1)*(-1/2)

Sn = 3+(n-1)*(-1/2) + 3+(n-2)*(-1/2) + ..... + 3+(1-1)*(-1/2) + 3+(1-1)*(-1/2)

Faire la somme :

2*Sn = [6+(n-1)*(-1/2)]*n

On obtient donc : Sn = 3n - n(n-1)/4

Donc Tn = Sn /2

Tn = ((13 n ) /2 ) / 2

Tn = ( 13 n ) / 4

Comment trouver la dernier question ? : demontrez que Tn est une suite arithmetique ?

par **Sa Majesté** » 31 Déc 2009, 10:00

Rokoko a écrit:Tn = ( 13 n ) / 4

Comment trouver la dernier question ? : demontrez que Tn est une suite arithmetique ?

Tu n'as pas l'impression d'abuser par hasard ? :hum:

par **Rokoko** » 31 Déc 2009, 10:58

je ne sais as si je les dit mais, on a pas eu de cours pour le DM ..on a rien eu on est parti apres un controle , et il nous a demandez de faire cette exercice .. et on y comprend rien .. donne moi au moins le cours pour sa svp ...

par **Sa Majesté** » 31 Déc 2009, 11:10

Wiki est ton ami
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithm%C3%A9tique

Si tu arrives à montrer que pour tout n
U(n+1)-U(n) = cte
alors la suite (Un) est arithmétique

par **Rokoko** » 31 Déc 2009, 11:15

merci beaucou je viens de comprendre merci :)

et passer de bonne fete

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