L'espérance en mathématiques

[Kugge]

Bonjour, je souhaiterais savoir si l'espérance symbolise la moyenne de gain par partie a long terme (dans le cadre d'un jeu) ou bien la moyenne de gain de toutes les parties a long terme.

Merci

[LB2]

Bonjour,

tout dépend de quelle variable aléatoire tu calcules l'espérance.

la moyenne de gain par partie à long terme est égale à l'espérance de la v.a. X : gain d'une partie
la moyenne de gain de toutes les parties à long terme est égale à l'espérance de la v.a. S : somme des gains de toutes les parties .

Ensuite, pour éclaircir cette notion de "à long terme", il convient de distinguer espérance théorique (domaine des probabilités) et espérance empirique (domaine des statistiques)

[pascal16]

Dire "si je fais bcp de parties, je gagne en moyenne 1€" ou dire "en moyenne sur une partie, je gagne 1€", c'est la même chose.

si je fais 100 parties et que je gagne 99€, c'est bien 99/100 =0.99€ mon gain moyen pour cet échantillon de 100 parties. Ce gain tend ver 1€ quand le nombre de parties tends vers 1€. Le gain moyen, c'est le gain total divisé par le nombre de parties.


C'est ce qu'on appelle la loi des grands nombres. La fréquence observée est celle que l'on calcule sur un nombre donné de parties, elle tend pour un nombre infini de parties vers la probabilité de l'événement. On utilise alors cette probabilité pour quantifier un événement, même si on ne fait qu'une partie (exemple : un dé a une chance sur 6 de tomber sur la face 3)

[LB2]

Ou pour formuler la loi des grands nombres d'un point de vue statistique : l'espérance empirique d'une variable aléatoire est un estimateur convergent de son espérance théorique

[pascal16]

"estimateur" un mot qui devrait entrer dans le vocabulaire du Lycée.

[cassiopella]

Ou pour formuler la loi des grands nombres d'un point de vue statistique : l'espérance empirique d'une variable aléatoire est un estimateur convergent de son espérance théorique

On ne dit pas "espérance empirique". La moyenne empirique est en général un estimateur convergent et sans biais d'un paramètre d'une loi de probabilité (ou autrement dit représente bien l'espérance théorique quand n est très grand). Mais pas toujours... Par exemple la loi exponentielle, loi uniforme et bien d'autres.

[LB2]

Ou pour formuler la loi des grands nombres d'un point de vue statistique : l'espérance empirique d'une variable aléatoire est un estimateur convergent de son espérance théorique

On ne dit pas "espérance empirique". La moyenne empirique est en général un estimateur convergent et sans biais d'un paramètre d'une loi de probabilité (ou autrement dit représente bien l'espérance théorique quand n est très grand). Mais pas toujours... Par exemple la loi exponentielle, loi uniforme et bien d'autres.

Connais tu la loi faible des grands nombres et la loi forte des grands nombres?

Je n'ai pas parlé de paramètre d'une loi de proba mais d'espérance théorique.
Tu ne dis pas "espérance empirique" si tu veux, c'est la même chose que moyenne empirique

[Sylviel]

Tu ne dis pas "espérance empirique" si tu veux, c'est la même chose que moyenne empirique

Moi, mais il traine sur le net des individus aux idées douteuses sur le sujet qui hante encore les forums. Du coup soyons précis :
- la "moyenne empirique" c'est un terme pour dire la moyenne d'un échantillon. Généralement l'échantillon est une suite de variable aléatoire iid, et pour peu qu'elles soit intégrable la moyenne empirique converge presque sûrement vers l'espérance de X_1.
- "l'espérance empirique" c'est une manière rapide de dire "l'espérance sous la loi empirique". C'est à dire qu'on prends un point de vue plus statistique où on ne connait pas la loi de X, mais où on a n réalisation et on approxime la vraie loi de X par celle qui est uniforme sur les différentes réalisations (on compte les doublons).

Bref, c'est effectivement la même formule au final, mais on y arrive par un chemin de pensée légèrement différent.

[cassiopella]

Connais tu la loi faible des grands nombres et la loi forte des grands nombres?

Je n'ai pas parlé de paramètre d'une loi de proba mais d'espérance théorique.
Tu ne dis pas "espérance empirique" si tu veux, c'est la même chose que moyenne empirique

Dans ton message initiale, tu parles de l'estimateur. L'estimateur de quoi??? Si tu parles de l'estimation, il faut dire qu'est-ce qu'on estime. Le mot "estimateur" est de trop dans ta phrase. Par ailleurs, la loi des grands nombres définit ce que c'est une espérance. L'espérance d'une v.a. c'est la valeur moyenne qu'on espère avoir, si on répète l'expérience aléatoire un nombre indéfini de fois. Parler de l'estimation n'a aucun sans ici.

Un estimateur est une statistique qui se calcule à partir des données de l'échantillon. On considère que c'est une proxy de quelque chose qu'on aimerait estimer. Comme les données varient d'un échantillon à l'autre, la valeur de la statistique varie aussi. On peut calculer l'espérance de cet estimateur et la variance.

La moyenne empirique est une statistique. Elle peut être utilisée comme un estimateur (il faut préciser un estimateur de quoi). Mais cet estimateur n'est pas forcement le meilleur. C'est un bon estimateur pour connaitre la probabilité du succès de la loi Bernoulli/Binomial. C'est pourquoi la fréquence observée du succès est d'autant plus proche de la probabilité théorique que le nombre d'observations est grand. P.ex. si v.a. X suit la loi Bernoulli de paramètre , E(X) = p. Alors l'espérance et la variance de la moyenne empirique issues de l'échantillon :


Ces égalités se démontrent bien évidement.

P.S. je pense que les stats inférentielles n'ont pas de place au lycée. Trop compliqué. Je préfère que les élèves fassent les dénombrements, triangle de pascale etc.

[Sylviel]

Ou pour formuler la loi des grands nombres d'un point de vue statistique : l'espérance empirique d'une variable aléatoire est un estimateur convergent de son espérance théorique

Dans ton message initiale, tu parles de l'estimateur. L'estimateur de quoi??? Si tu parles de l'estimation, il faut dire qu'est-ce qu'on estime. Le mot "estimateur" est de trop dans ta phrase.

En fait non. Il le dit : la moyenne empirique (ou l'espérance par rapport à la mesure empirique) d'une va est un estimateur convergeant de l'espérance.

Par ailleurs, la loi des grands nombres définit ce que c'est une espérance. L'espérance d'une v.a. c'est la valeur moyenne qu'on espère avoir, si on répète l'expérience aléatoire un nombre indéfini de fois.

Heu non.

L'espérance est défini bien indépendemment de la loi des grands nombre.
Il s'agit d'une intégrale contre la loi de proba, avec une formule intuitive dans le cas discret
(moyenne pondérée par les probas) et à densité (intégrale sur R de xf(x)).

A la rigeur on peut dire que cette définition est justifiée par la loi des grands nombre.

[cassiopella]

Sylviel, la phrase "estimateur convergeant de l'espérance" n'a pas de sens pour moi. On n'estime pas l'espérance!!! Pour comprendre pourquoi cela n'a pas de sens. Essaye de donner un exemple et faire calculs/démonstration. Et n'oublies pas de préciser la méthode utilisée pour l'estimation.

La phrase correcte pour moi: soit un échantillon de observations () et existe. La moyenne de l'échantillon converge vers avec grand. Et on précise l'espérance de quoi. On n'estime rien ici! D'ailleurs cela n'a pas de sens d'estimer l'espérance. Pour quoi faire après???

Si suit la loi de Cauchy, la moyenne empirique ne converge pas vers une constante.

A la rigeur on peut dire que cette définition est justifiée par la loi des grands nombre.

Oui.

[Sylviel]

Sylviel, la phrase "estimateur convergeant de l'espérance" n'a pas de sens pour moi.

Ben reprends des études de proba

On peut toujours jouer avec les mots, dans "ta phrase correcte" tu oublie de préciser le sens de converge...
En statistique on considère généralement une va X de loi inconnue sur laquelle on veut obtenir des informations. On suppose généralement qu'on dispose d'un échantillon où les Xi sont iid de même loi que X. Si est un réel (ou plus généralement un point d'un espace topologique), un estimateur convergeant (fortement) de est une (suite de) fonction de l'échantillon qui converge presque sûrement vers .

Donc on peut dire que la moyenne empirique d'une suite de va iid de L1 converge p.s vers l'espérance (commune à tout les éléments de la suite), ou on peut dire que l'espérance contre la mesure empirique converge vers l'espérance contre la vraie loi (si elle existe).

Pour info l'estimation va au delà de l'estimation de paramètres de lois classiques. On fait également de l'estimation non-paramétrique (typiquement de densité ou de fonction de répartition). On peut aussi vouloir faire de l'estimation de quantile (toujours défini eux). L'estimation d'espérance est archi-classique, et l'estimation de variance aussi. D'ailleurs l'estimation de matrice de variance-covariance est un sujet plutôt épineux, puisqu'on cherche parfois à estimer beaucoup plus de paramètres que l'on a de données...

[cassiopella]

Mais justement, tu estimes ton !!! Si tu ne dis pas ce que tu estime, bah... tu ne fais pas d'estimation. Regarde, je reprends ton message et j'enlève les informations qui manquées au début :

On suppose généralement qu'on dispose d'un échantillon où les sont de même loi que . Un estimateur convergeant (fortement) est une (suite de) fonction de l'échantillon qui converge presque sûrement .

C'est du charabia...

P.S. je sais comment on estime, pas la peine de me faire le cours.

[Sylviel]

Tu as une suite de va iid, quuand on dis "espérance théorique" sans préciser, de quelle variable aléatoire peut-on bien parler ?
On ne fait jamais (ou quasiment jamais) d'énoncé réellement complet en math. (C'est plutôt rare qu'on donne explicitement la topologie, ou encore les axiomes de logique choisit pour donner un énoncé). Et sa phrase est largement compréhensible, c'est toi qui fait une fixette.

P.S: pour le moment ton discours montre surtout que tu manque un peu de recul sur la matière. Peut-être qu'un peu de modération dans ton discours ne serait pas plus mal...

[cassiopella]

Juste par curiosité : enseignes tu les stats/probas aux lycéens (et pas que les meilleurs) et aux étudiants (avec des lacunes gigantesques en maths et certains qui ne sont pas du tout matheux)? Sa phrase est largement compréhensible aux initiés (toi, moi, autres avec BAC +3 /+8 et qui ont étudié le sujet) parce qu'on connait le sujet et on peut compléter. Mais c'est du chinois ou du martien pour les lycéens : le vocabulaire, le concept, la tournure de la phrase et c'est trop abstrait. Ici, nous parlons du programme de lycée.

Et je ne suis pas d'accord sur la précision. Il faut être extrêmement précis, claire et pédagogue sur les notions que les élèves comprennent mal et ne maitrisent pas. Et oui, il faut parler des axiomes et traduire le vocabulaire lourd.

P.S. je persiste - les lycéens n'ont pas le niveau pour faire les stats inférentielles. C'est du gaspillage du temps.

[beagle]

Votre discussion a été intéressante même s'il est inutile de parler de charabia et autres vocabulaire tout de meme vexatoire.
On peut tourner cela en disant:
je prefère que l'on parle de … quand on veut dire…

Perso je pense que les élèves ne sont pas en manque de mots,
ils sont plutôt en manque de bureau, de table,
ils manque quelque chose pour poser ces mots.
Je ne crois pas que la précision d'un mot soit un support, mais enfin il ya un biais,
j'aimais les maths au lycée parce que personne ne m'emm….t avec le français...

[Sylviel]

Juste par curiosité : enseignes tu les stats/probas aux lycéens (et pas que les meilleurs) et aux étudiants (avec des lacunes gigantesques en maths et certains qui ne sont pas du tout matheux)? Sa phrase est largement compréhensible aux initiés (toi, moi, autres avec BAC +3 /+8 et qui ont étudié le sujet) parce qu'on connait le sujet et on peut compléter. Mais c'est du chinois ou du martien pour les lycéens : le vocabulaire, le concept, la tournure de la phrase et c'est trop abstrait. Ici, nous parlons du programme de lycée.

Non je n'enseigne pas au lycée (j'enseigne en école d'ingé et en M2).

Je ne savais pas que l'on faisait de l'estimation au lycée... Du coup tout ceci est probablement du chinois pour un lycéen. Mais dire que la moyenne empirique d'une variable aléatoire est un estimateur de l'espérance me semble une phrase raisonablement compréhensible. Et ne mérite sans doute pas un tel acharnement.

Et je ne suis pas d'accord sur la précision. Il faut être extrêmement précis, claire et pédagogue sur les notions que les élèves comprennent mal et ne maitrisent pas. Et oui, il faut parler des axiomes et traduire le vocabulaire lourd.

Dans la phrase que tu as annoncé comme étant complète et clair tu as oublié de préciser le mode de convergence :
- du point de vue des probas (un peu dommage)
- du point de vue de R (absolument pas nécessaire)

Il n'y a aucun livre ou cours qui soit "parfaitement précis" (excepté, peut-etre, les Bourbaki) et cela ne rendrait pas le discours plus compréhensible. Exemple : je ne suis pas certain qu'insister sur le fait qu'une va doit être intégrable soit indispensable pour faire comprendre la loi des grands nombre. Il faut bien sûr l'écrire dans le théorème, et il vaut mieux -si le temps le permet- mentionner la loi de Cauchy (éventuellement simulation à l'appui).

[cassiopella]

Sylviel, et bah si! On l'enseigne au lycée, mais il n'est jamais dit précisément ce que c'est. Il y a le fameux "intervalle de fluctuation", l’échantillonnage, l'intervalle de confiance et même le principe intuitive des tests. On balance les formules sans trop expliquer et les enfants jouent avec la calculatrice. De même pour les lois usuelles. Et à côté très peu de probas et pas de dénombrement. Le mode de convergence est largement hors programme du lycée (surtout pour les ES). Même avec mes étudiants L2 ce n'est pas possible, mais c'est particulier là où je suis (2 fois moins d'heures qu'ailleurs).

Moi j'enseigne en L2 et il a fallut expliquer longtemps et avec plein de détails le pourquoi et le comment de la phrase de LB2. De toute façon une telle phrase ne passe pas, même une fois qu'ils ont compris. Une tournure différente, moins ambigu et plus directe est mieux. Moyenne empirique, variance empirique, espérance, variance théorique, les paramètres de la loi normale qui ont les mêmes noms - tous cela est difficile et donne lieu aux confusions. Même certains matheux on un mal fou avec probas et stats inférentielles.

P.S. quand je parlais de précision, c'est du point de vu de l'élève :
- mots et la phrase que l'élève peut comprendre
- la phrase n'est pas ambigüe et ne donne pas lieu aux confusions.
Donc cela rejoint ton réflexion sur les définitions. Il faut des énoncés simples, mais claire (du point de vu de l'élève, et non du matheux). Par exemple n'importe quel élève comprend ce que c'est un point. Pas la peine de sortir un vocabulaire de matheux pour expliquer! Ce n'est pas facile, je me suis grandement inspiré des manuels anglais, russes, allemands et quelques vidéos français des profs de CPGE ECS. Cela passe mieux que les définitions du prof précédent (tribu, espace probabilisé, des signes abradacobrantes etc.)

[beagle]

"Ou pour formuler la loi des grands nombres d'un point de vue statistique : l'espérance empirique d'une variable aléatoire est un estimateur convergent de son espérance théorique"

je crois que tous les mots employés s'utilisent dans le langage commun,
un estimateur va estimer
converger va tendre vers…
donc on comprend parfaitement avec le langage commun.

Quand je suis arrivé sur maths forum, je me suis dit , tiens on dit plus moyenne mais espérance.
Bon j'avais pas vu la subtilité que la moyenne n'espère plus rien...