Exercice de probabilité et d' espérance mathématique

[Yasminou]

Je bute sur un exercice de probabilté, je n' arrive pas à comprendre :

Un fabricant d' objets périssables gagne 50euros par objet vendu et perd 30euros par objet invendu. La fabrication et la vente doivent avoir lieu dans la même journée. Cet artisan souhaite déterminer le nombre n d' objets qu' il doit fabriquer pour réaliser un gain maximum.
Une étude statistique effectuée sur une longue période à permis d' établir la loi de probabilité de la demnade journalière. Elle est indiquée dans le tableau ci-dessous.

Demande 0 1 2 3 4 5 ou
journalière : plus


P (D = d1) 0,1 0,2 0,35 0,25 0,1 0

1) a° Déterminer la loi de probabilité du gain si l' artisan fabrique 4objets /jour
b° Calculer l' espérance mathématique de cette loi
2) a° l' artisan fabrique 3objets par jour
quelle est la probabilité de ne pas satisfaire cette demande ?
b° déterminer la loi de probabilité du gain de l' artisan et l' espérance mathématique de cette loi.
3) déterminer la loi de probabilité du gain de l' artisan pour les autres productions envisageables et l' espérance mathématique dans chaque cas.
4) En déduire la production journalière qui lui permet d' espérer le gain plus important.

Merci de me répondre, en m' expliquant svp!lol

[armor92]

Bonjour Yasminou,

1) a°
Si j'interprete bien ton problême, le fabriquant a une probabilité :
P(D=0) = 0,1 (Probalilité d'une demande de 0 objet dans la journée)
P(D=1) = 0,2 (Probalilité d'une demande de 1 objet dans la journée)
P(D=2) = 0,35 (Probalilité d'une demande de 2 objets dans la journée)
P(D=3) = 0,25 (Probalilité d'une demande de 3 objets dans la journée)
P(D=4) = 0,1 (Probalilité d'une demande de 4 objets dans la journée)
P(D>=5) = 0 (Probalilité d'une demande de plus de 4 objets dans la journée)

Le fabriquant fabrique 4 objets/jour
Si la demande est de 0 objet dans la journée, le fabriquant a 4 objets invendus, donc perte globale = 4 * 30 euros = 120 euros.

Si la demande est de 1 objet dans la journée, le fabriquant vend 1 objet et a 3 objets invendus, gain = 50 euros, perte = 3 * 30 euros = 90 euros, perte globale = 40 euros

Si la demande est de 2 objets dans la journée, le fabriquant vend 2 objets et a 2 objets invendus, gain = 50 * 2 euros = 100 euros, perte = 2 * 30 euros = 60 euros, gain global = 40 euros

Si la demande est de 3 objets dans la journée, le fabriquant vend 3 objets et a 1 objets invendu, gain = 50 * 3 euros = 150 euros, perte = 30 euros, gain global = 120 euros

Si la demande est de 4 objets dans la journée, le fabriquant vend 4 objets et a 0 objets invendu, gain global = 50 * 4 euros = 200 euros

La probabilité d'une demande supérieure à 4 objets dans la journée est nulle

On suppose que le fabriquant ne stocke pas ces objets d'une journée sur l'autre car les objets sont périssables.

Si on appelle Gain le gain global (éventuellement négatif si perte), la loi de probabilité du gain est la suivante :
P(Gain=-120) = P(D=0) = 0,1
P(Gain=-40) = P(D=1) = 0,2
P(Gain=40) = P(D=2) = 0,35
P(Gain=120) = P(D=3) = 0,25
P(Gain=200) = P(D=4) = 0,1

b° L'espérance mathématique du gain est définie par :
E(Gain) = Somme (Gi * P(Gain=Gi))

C'est à dire ici :
E(Gain) = -120 * p(Gain=-120) - 40 * p(Gain=-40) + 40 * p(Gain=40) + 120 * p(Gain=120) + 200 * p(Gain=200)
E(Gain) = 44

[armor92]

2) a° Si l'artisan fabrique 3 objets/jour, la probabilité de ne pas satisfaire la demande est la probabilité d'une demande de 4 objets ou plus dans la journée.
C'est a dire ici P(D>3) = p(D>=4) = 0,1

b° Le calcul de la loi de probalité est similaire au 1)

Si la demande est de 0 objet dans la journée, le fabriquant a 3 objets invendu, donc perte globale = 3 * 30 euros = 90 euros.

Si la demande est de 1 objet dans la journée, le fabriquant vend 1 objet et a 2 objets invendu, gain = 50 euros, perte = 2 * 30 euros = 60 euros, perte globale = 10 euros

Si la demande est de 2 objets dans la journée, le fabriquant vend 2 objets et a 1 objets invendu, gain = 2 * 50 euros, perte = 30 euros, gain global = 70 euros

Si la demande est de 3 objets dans la journée, le fabriquant vend 3 objets et a 0 objets invendu, gain global = 50 * 3 euros = 150 euros

Si la demande est de 4 objets dans la journée, la demande n'est pas satisfaite, le fabriquant ne peut vendre que 3 objets, gain global = 50 * 3 euros = 150 euros

La loi de probabilité est donc la suivante :
P(Gain=-90) = P(D=0) = 0,1
P(Gain=-10) = P(D=1) = 0,2
P(Gain=70) = P(D=2) = 0,35
P(Gain=150) = P(D=3) + P(D=4)= 0,25 + 0,1 = 0,35

L'espérance mathématique du gain est définie par :
E(Gain) = Somme (Gi * P(Gain=Gi))

C'est à dire ici :
E(Gain) = -90 * p(Gain=-90) - 10 * p(Gain=-10) + 70 * p(Gain=70) + 150 * p(Gain=150)
E(Gain) = 66

[armor92]

3) Les autres cas de production envisageables sont 2 objets/jour et 1 objet/jour.
Plus de 4 objets/j n'est pas à envisager car l'espérance serait forcément inférieure à celle de 4 objets/j vu que le nombre d'objets invendus serait supérieur dans chaque cas.
0 objet/j n'est pas à envisager non plus car l'espérance serait nulle...

Déterminons la loi de probabilité dans le cas ou l'artisan fabrique 2 objets/j

Si la demande est de 0 objet dans la journée, le fabriquant a 2 objets invendus, donc perte globale = 2 * 30 euros = 60 euros.

Si la demande est de 1 objet dans la journée, le fabriquant vend 1 objet et a 1 objet invendu, gain = 50 euros, perte = 30 euros, gain global = 20 euros

Si la demande est de 2 objets dans la journée, le fabriquant vend 2 objets et a 0 objets invendu, gain global = 2 * 50 euros = 100 euros

Si la demande est de 3 objets ou plus dans la journée, la demande n'est pas satisfaite, le fabriquant ne peut vendre que 2 objets, gain global = 50 * 2 euros = 100 euros

La loi de probabilité est donc la suivante :
P(Gain=-60) = P(D=0) = 0,1
P(Gain=20) = P(D=1) = 0,2
P(Gain=100) = P(D=2) + P(D=3) + P(D=4)= 0,35 + 0,25 + 0,1 = 0,70

L'espérance mathématique du gain est définie par :
E(Gain) = -60 * p(Gain=-60) + 20 * p(Gain=20) + 100 * p(Gain=100)
E(Gain) = 68

Déterminons la loi de probabilité dans le cas ou l'artisan fabrique 1/objet par jour

Si la demande est de 0 objet dans la journée, le fabriquant a 1 objet invendu, donc perte globale = 30 euros

Si la demande est de 1 objet dans la journée, le fabriquant vend 1 objet et a 0 objet invendu, gain global = 50 euros,

Si la demande est de 2 objets ou plus dans la journée, la demande n'est pas satisfaite, le fabriquant ne peut vendre que 1 objet, gain global = 50 euros

La loi de probabilité est donc la suivante :
P(Gain=-30) = P(D=0) = 0,1
P(Gain=50) = P(D=1) + P(D=2) + P(D=3) + P(D=4) = 0,9

L'espérance mathématique du gain est définie par :
E(Gain) = -30 * p(Gain=-30) + 50 * p(Gain=50)
E(Gain) = 42

4)
Donc tableau final :
4 objets/j Espérance(Gain) = 44
3 objets/j Espérance(Gain) = 66
2 objets/j Espérance(Gain) = 68
1 objet/j Espérance(Gain) = 42

Donc cas le plus favorable : production de 2 objets/jour