DM, Equations Différentielles [Term.]

[Scoldt]

Bonjour à tous,
Donc voilà j'ai un petit soucis avec un DM en maths de niveau terminal sur les Équations Différentielles dont voici la Partie A (la Partie B, j'ai su faire)

Partie A : résolution de l'équation différentielle (E) Y' + Y = x - 1
N.B : une fonction f est solution de cette équation sur si seulement si, pour tout réel x, f'(x) + f(x) = x - 1.

1) Prouver que la fonction f0 définie sur par f0(x) = x - 2 est solution de (E)
2a) Monter que que si f est solution de (E) alors f - f0 est solution de l'équation (E0) : Y' + Y = 0.
b) Résoudre (E0).
c) En déduire que si f est solution de (E) alors f est définie par f(x) = Ce^-x + x -2 ou C est une constante réelle.
d) Réciproquement montrer que toute fonction f est définie par f(x) = Ce^-x + x -2 est solution de (E).
e) Conclure sur l'ensemble des solutions de l'équation de (E).
f) Déterminer la fonction f solution de (E) dont la courbe représentative admet une tangente au point d'abscisse 0 parallèle à la droite d'équation y = 2x + 1.

Donc la question 1), facile j'y arrive en trouvant la dérivée de f0(x) et en calculant f'0(x)+f0(x) qui équivaut bien à x-1, donc la fonction f0 définie par fo(x) = x-2 est solution de (E).

Pour le 2) a., sa se complique un peu .. enfin je suis sur que finalement après coup la solution apparaitra évidente ^^' mais pour le moment j'ai beau chercher je trouve pas..
Donc ce que j'ai fait pour le moment (pas grand chose certes ..) ;
J'ai essayé de deux façon :
En prenant la formule Y'+Y = x - 1,
Ainsi Y' = x - 1 - y
Donc à partir de là, on a la forme Y' = aY + b, avec a = -1 et b = x - 1
Ensuite, j'utilise la formule : Ce^(-x) - (x - 1)/-1 = Ce^(-x) + x-1
Or dans le c., on nous dit que f(x) = Ce^-x + x -2 ... et je ne vois pas d'où sort ce satané '-2' ...

Puis j'ai essayé avec la formule Y'+Y = 0
Mais je tombe finalement sur f(x) = Ce^-x, ce qui n'est pas mieux ...
[EDIT : Et c'est ce qui correspond à la solution du 2) b. .... donc sa peut pas être sa]

Need :help:
C'est pas pressé bien sur .. mais je remercie d'avance les personnes qui pourront m'aider.
(Si certaines choses ne sont pas claires, me le dire et je redirais en mieux ).

Merci d'avance.
Scoldt

[Sa Majesté]

Tu te compliques la vie
Montrer que f - f0 est solution de l'équation (E0) : Y' + Y = 0, c'est montrer que (f-f0)' + (f-f0) = 0

[Scoldt]

Aah ok je n'avais pas compris l'énoncé comme sa ...
Donc Y' = (f-f0)' et Y = (f-f0)

Ainsi, Y' + Y = (f-f0)' + (f-f0)
Donc f = (Ce^ax - b/a) et f0 = (x-2)
= [(Ce^ax - b/a) - (x-2)]' + [(Ce^ax - b/a) - (x-2)]


.... Bon jusque la sa va mais maintenant je bloque ..
Je suppose que je ne peux pas faire la dérivé de la fonction différentielle, ajouté à la dérivé de x-2 (à savoir, 1), mais qu'il s'agit de la dérivée de la somme ..
Mais le 'a' et 'b' de la fonction différentielle .. il s'agit de quoi dans l'énoncé ?
C'est en prenant la formule
Y'+Y = x - 1,
Ainsi Y' = x - 1 - y
et que donc Y' = aY + b, avec a = -1 et b = x - 1 ? Ou il fallait prendre d'autres valeurs dans l'énoncé ? ..

P.s : Merci à Sa Majesté pour son aide :we:

[Sa Majesté]

Je me répète : tu te compliques la vie
Tu as f solution de (E) Y' + Y = x - 1 donc pour tout x réel, f'(x) + f(x) = x-1
Tu as f0 solution de (E) Y' + Y = x - 1 donc pour tout x réel, f0'(x) + f0(x) = x-1

Tu dois montrer que (f-f0) est solution de (E0) : Y' + Y = 0 donc montrer que pour tout x réel, (f-f0)'(x) + (f-f0)(x) = 0

[Scoldt]

Eh oui je cherche toujours plus compliqué qu'il n'y paraît .. pour sa qu'après je galère quand sa à l'air simple .. (enfin je galère assez en général actuellement ... :--: )
Hm bref.

(f-f0)'(x) + (f-f0)(x) = (f' - 1) + (f - (x +2))

f'(x) + f(x) = x-1
f'(x) = x-1 - f(x)
...

Enfaite nan je n'arrive pas à voir ce qu'on doit faire du f'(x) et du f(x) désolé .. :triste:

[Scoldt]

Hum désolé du double post ...

Après relecture, 'Montrer que si f est solution de (E) etc', ils ne demandent pas de prouver nan ?
Donc je dois mettre ;
"les solutions dede l'équation (E0) : y' + y = 0 sont les fonctions f-f0 définies sur R par (f' - 1) + (f - (x +2)) = 0"

? .. c'est sa ou je raconte encore une grosse c***** ? :/
Et oui ..oui je galère un peu en maths en ce moment ..

[Sa Majesté]

Es-tu d'accord que tu dois montrer que pour tout x réel, (f-f0)'(x) + (f-f0)(x) = 0 ?

[Scoldt]

Oui, avec Y' = (f-f0)'(x) et Y = (f-f0)(x)

Il faut donc montrer que Y'+Y = 0 pour dire que f est solution de (E)

Pour les valeurs de f'0(x) et f0(x) je comprend mais c'est pour trouver les valeurs de f(x) et f'(x) que je ne comprend pas ..
On ne peux pas faire d'équation comme quoi Y' = -Y je suppose ? Vu qu'on est censé le démontrer ..

[Sa Majesté]

On va y arriver ...
Tu dois montrer que pour tout x réel, (f-f0)'(x) + (f-f0)(x) = 0

Or (f-f0)'=f'-f0' n'est-ce pas ?
Tu dois donc montrer que pour tout x réel, f'(x) - f0'(x) + f(x) - f0(x) = 0

[Scoldt]

Aaaah je crois que j'ai compris ...
f'(x) - f0'(x) + f(x) - f0(x) = f'(x) + f(x) - f0'(x) - f0(x)
Avec ;
f'(x) + f(x) = x - 1
f0(x) = x - 2
f0'(x) = 1
Donc,
f'(x) + f(x) - f0'(x) - f0(x) = x - 1 - 1 - (x - 2) = x - 1 - 1 - x + 2 = 0 !

Sa doit être çà cette fois ? :)

P.s :
Merci beaucoup de ta patience je sais que c'est pas facile parfois .. ^^"
Et bonne année ;)

[Sa Majesté]

Oui c'est ça mais tu n'es pas obligé de revenir à l'expression de f0

Tu dis :
f est solution de (E) donc pour tout x réel, f'(x) + f(x) = x-1
f0 solution de (E) donc pour tout x réel, f0'(x) + f0(x) = x-1

On fait la différence membre à membre :
Pour tout x réel, (f'(x) + f(x)) - (f0'(x) + f0(x)) = 0
et on réarrange pour trouver pour tout x réel, (f-f0)'(x) + (f-f0)(x) = 0

[Scoldt]

Oui exact j'ai juste à reprendre le résultat dans la question précédente.
Comme je l'ai dis hier, maintenant la réponse me paraît évidente .. mais je sais pas pourquoi, je ne l'avais pas ..

Bref donc j'ai continuer un peu l'exo avec les autres questions,
tu pourrais me dire si j'ai bon ou (et sa risque d'être le cas), m'aider lorsque j'ai faux ? (Pas en me donnant les réponses évidemment mais en m'aidant .. du moins si tu as la patience ^^' :we: )

Donc, question ;
2)
b. Je prend la formule Y'+Y = 0
La solution de l'equation différentielle y' + y = 0, équivaut à y' = - y, soit f, les fonctions définies sur R par f(x) = Ce^ax - b/a avec C constante réelle. Soit f(x) = Ce^-(1)x

c. Ahah sa se complique ..
Hum, soit f(x) = Ce^-x + x-2 .. Je dois faire la dérivée f'(x) ?

[Sa Majesté]

Il n'y a aucun calcul à faire
Il faut utiliser le 2a et le 2b

[Scoldt]

Ah oui ..comme quoi si je réfléchis un peu .. :mur:

Dans le b., on a trouvé que Ce^-x était solution de (E0)
Or, on sait que f(x) - f0(x) , soit f(x) - (x-2) , est solution de (E0).

Donc f(x) - (x-2) = Ce^-x
Donc par équation, f(x) = Ce^(-x) + x - 2, avec C, constance réelle.
f est donc solution de (E) par f(x) = Ce^(-x) + x - 2.

d. Pour cette question sa doit être la même chose .. donc ..
J'ai un peu de mal à la rédiger celle là même si je vois que je dois utiliser les données présentes ..

On a f(x)-f0(x) = Ce^-x
Or si f est définie par f0(x) = x-2, solution de (E) (question b.)
Alors f est définie par f(x)= Ce^-x + x-2 est solution de (E).

J'en doute mais .. c'est bon ? ..

[Sa Majesté]

Dans le b., on a trouvé que Ce^-x était solution de (E0)
Or, on sait que f(x) - f0(x) , soit f(x) - (x-2) , est solution de (E0).

Donc f(x) - (x-2) = Ce^-x
Donc par équation, f(x) = Ce^(-x) + x - 2, avec C, constance réelle.
f est donc solution de (E) par f(x) = Ce^(-x) + x - 2.

C'est l'idée mais il faut faire attention à la rédaction, bien définir tes hypothèses et ton cheminement pour aboutir à la conclusion
J'ai l'impression que c'est un peu confus pour toi

d. Pour cette question sa doit être la même chose .. donc ..
J'ai un peu de mal à la rédiger celle là même si je vois que je dois utiliser les données présentes ..

On a f(x)-f0(x) = Ce^-x
Or si f est définie par f0(x) = x-2, solution de (E) (question b.)
Alors f est définie par f(x)= Ce^-x + x-2 est solution de (E).

J'en doute mais .. c'est bon ? ..

Non, tu as fait la même chose que pour la c
Il faut montrer que toute fonction f définie par f(x) = Ce^-x + x -2 est solution de (E), c'est-à-dire qu'elle vérifie pour tout x réel, f'(x) + f(x) = x-1

[Scoldt]

Ok, je refais donc pour le c.

On sait que f est solution de (E0), avec f définie par f(x) = Ce^-x
De plus, on sait que f est solution de (E0), par f(x) - f0(x) = f(x) - (x-2), avec f définie par f0(x) = x-2

On peut en déduire que f(x) - (x-2) = Ce^-x, ce qui reviens à f(x) = Ce^-x + x-2, avec C constante réelle.
f est donc solution de (E) par f(x) = Ce^(-x) + x - 2.

La rédaction est-elle meilleur comme cela ?


Pour le d.
Avec f(x) = Ce^-x + x-2
---- Pour la rédaction là je sais que sa va pas être top mais je referais au propre .. ----
Pour Ce^-x ;
f'(x) + f(x) = x-1
f'(x) = x-1 - Ce^-x

Pour x-2 ;
f(x) = x-2
f'(x) = 1
-------

Avec f'(x) = (x-1 - Ce^-x) + 1 = x - Ce^-x
f'(x) + f(x) = (x - Ce^-x) + (Ce^-x + x-2)
= 2x - 2



Aaaarf alàlà oui je m'en rend compte que j'ai fait n'importe quoi .. notamment pour la dérivée de f(x) mais avec la forme Ce^-x + u .. quelle est la formule ?

[Sa Majesté]

Ok, je refais donc pour le c.
La rédaction est-elle meilleur comme cela ?

Non :triste:
LA question c'est : En déduire que si f est solution de (E) alors f est définie par f(x) = Ce^-x + x -2 où C est une constante réelle.
Il faut partir de "si f est solution de (E)" et il faut trouver " f(x) = Ce^-x + x -2 où C est une constante réelle"
Si f est solution de (E) alors d'après a) f - f0 est solution de l'équation (E0)
Or on connaît TOUTES les solutions de (E0), ce sont les fonctions qui s'écrivent Ce^-x où C est une constante réelle
Par conséquent si f est solution de (E) alors pour tout x réel, f(x)-f0(x) = Ce^-x où C est une constante réelle, c'est-à-dire que f(x) = Ce^-x + x - 2 où C est une constante réelle

Pour le d.
Avec f(x) = Ce^-x + x-2
---- Pour la rédaction là je sais que sa va pas être top mais je referais au propre .. ----
Pour Ce^-x ;
f'(x) + f(x) = x-1
f'(x) = x-1 - Ce^-x

Pour x-2 ;
f(x) = x-2
f'(x) = 1
-------

Avec f'(x) = (x-1 - Ce^-x) + 1 = x - Ce^-x
f'(x) + f(x) = (x - Ce^-x) + (Ce^-x + x-2)
= 2x - 2



Aaaarf alàlà oui je m'en rend compte que j'ai fait n'importe quoi .. notamment pour la dérivée de f(x) mais avec la forme Ce^-x + u .. quelle est la formule ?

Soit f une fonction définie par f(x) = Ce^-x + x - 2, où C est une constante réelle
alors f'(x) = ...
donc f'(x) + f(x) = ...
donc f est solution de (E)

[Scoldt]

(Merci pour la rédaction je la referais au propre .. c'est un des mes nombreux soucis en maths ...)

Donc .. pour d.
Soit f une fonction définie par f(x) = Ce^-x + x-2, où C est une constante réelle
[Dérivée de e^-x = -[Edit : faute de frappe]e^-x et dérivée de x-2 = 1]
alors f'(x) = -Ce^-x + 1
donc f'(x) + f(x) = (-Ce^-x + 1) + (Ce^-x + x - 2) = x-1
donc f est solution de (E)

e. Ce sont les fonctions du type Ce^-x ?
[Répondre à oui ou par non à celle là, évidemment je développerai et rédigerai pour cette question]

f. Représentation graphique nécessaire ( = dessin) ?
Bin .. pour trouver la tangente d'une fonction f, je sais faire .. mais l'inverse u.u
Je réfléchie à cette question, en attendant, peut tu me dire si les questions précédentes sont juste ?

[Sa Majesté]

Donc .. pour d.
Soit f une fonction définie par f(x) = Ce^-x + x-2, où C est une constante réelle
[Dérivée de e^-x = e^-x et dérivée de x-2 = 1]
alors f'(x) = -Ce^-x + 1
donc f'(x) + f(x) = (-Ce^-x + 1) + (Ce^-x + x - 2) = x-1
donc f est solution de (E)

OK sauf étourderie "Dérivée de e^-x = -e^-x"

e. Ce sont les fonctions du type Ce^-x ?
[Répondre à oui ou par non à celle là, évidemment je développerai et rédigerai pour cette question]

Non

f. Représentation graphique nécessaire ( = dessin) ?

Non

[Scoldt]

(Oui, j'ai vu et éditer mon message une demi-seconde avant votre réponse)

e. Donc il s'agit d'une conclusion de c. et d. ...
"Une fonction f est solution de cette équation sur R si, et seulement si, pour tout réel x, f'(x) + f(x) = x-1, avec f définie par f(x) = Ce^-x + x - 2" ?

f. Euh .. je dois trouver l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 nan ? Enfin je ne vois pas tellement comment faire .. (peut-être un lien sur un cours qui l'explique ? J'ai beau cherché je ne trouve pas (sur les miens sur papier non plus évidemment)