équations cartésiennes

[cowkill]

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice sur les équations de droites cartésiennes..
Pouvez-vous m'aider svp ?
v= racine carré

Exercice :

Dans un repère orthonormé (o i j ) on considère les droites D et D' d'équations cartésiennes respectives :

D: (v5-v2)x + v3y = v2-v5

D': 3x + (v6+v15)y=3

1. Justifiez que ces deux droites coupent l'axe des ordonnées en un même point B dont on précisera l'ordonnée YB.
2. Que peut-on dire de la position relative de ces deux droites ?

ce que j'ai fais :

D: (v5-v2)x + v3y -v2 + v15 = 0
vecteur directeur de D --> (-v3 ; v5-v2 )
D': 3x + (v6+v15)y + 3 = 0
vecteur directeur de D' --> (-(v6+v15) ; 3 )

Merci d'avance !

[messinmaisoui]

Hello cowkill,

C'est quoi l'équation de l'axe des ordonnées, à ton avis ?

[cowkill]

Comment ça ?

[cowkill]

c'est y=0 non ?

[messinmaisoui]

Comment ça ?

Si tu prends un repère orthonormé
et que tu traces les droites x=0, y=0, x=-2 et y=5
tu devrais faire un lien avec ma question ...
... et pouvoir même y répondre.

[messinmaisoui]

c'est y=0 non ?

Oui "presque" en fait c'est x=0

et maintenant
peux tu maintenant me donner l'intersection entre
D: (v5-v2)x + v3y = v2-v5
et x = 0

puis
D': 3x + (v6+v15)y=3
et x = 0

[cowkill]

Je ne comprends pas..
elles doivent être égales à y ?

[cowkill]

Il faut remplacer x par 0 dans les équations ?

[messinmaisoui]

La question est "Justifiez que ces deux droites coupent l'axe des ordonnées en un même point B dont on précisera l'ordonnée YB"
donc sachant que l'équation de l'axe des ordonnées est x= 0
D coupe l'axe des ordonnées en (v5-v2)* 0 + v3y = v2-v5
donc en y = (v2-v5) / v3

et D' en ...

Trouve t'on la même ordonnée YB ?

[cowkill]

D' coupe l'axe des ordonnées en 3*0 + (v6+v15)y=-3
y = -3/(v6+v15)
résultat égal à y = (v2-v5)/v3

[messinmaisoui]

Oui mais il faudrait démontrer que
-3/(v6+v15) = (v2-v5)/v3 car ça ne saute pas au yeux ?
en partant par exemple de
-3/(v6+v15) = [ -3/(v6+v15) ] * [ (v6-v15)/(v6-v15) ] = ...

[cowkill]

(v6-v15)/(v6-v15) = 1 donc on revient à -3/(v6+v15), je ne comprends pas

[messinmaisoui]

Oui aussi.

-3/(v6+v15)
= [ -3/(v6+v15) ] * [ (v6-v15)/(v6-v15) ]
= [ (-3)(v6-v15) ] / [ (v6+v15)(v6-v15) ]
= [ (-3)(v6-v15) ] / (6-15)
= (v6-v15) / 3
= ... on se rapproche de notre réponse, vois tu où je veux en venir
Maintenant c'est à toi de terminer sachant que v6 = v2*v3 et v15 = v3*v5 ...

[cowkill]

Mais, pourquoi il faut multiplier par (v6-v15)/(v6-v15) ?

on a :(v3*v2 - v3 * v5) / 3
le facteur commun est v3 donc : [v3(v2-v5)]/3

[messinmaisoui]

oui et [v3(v2-v5)]/3 = [v3(v2-v5)]/[v3*v3] ...

[cowkill]

j'ai trouvé la suite :

on sait que 3 = v9
donc :
v3(v2-v5)/3 = v3(v2-v5)/ v3*v3
= (v2-v5)/v3

[messinmaisoui]

Bon je crois que tu as suffisamment de données maintenant
pour rédiger ton exercice.

[cowkill]

Oui ! Je te remercie de ton aide, ça me parais logique maintenant, encore merci et bonne soirée :) !