Equation trigonométrique

par **entropik** » 11 Sep 2006, 15:18

Bonjour à tous,
Vous allez sûrement rire de cette bête question mais j'ai beau chercher dans mes cours et partout je ne trouve pas de solution à mon problème.
Voilà: je révise pour entrer dans le supérieur orienté sciences mais j'ai pris des options math faible en secondaires et maintenant que cela commence à m'intéresser, j'ai du pain sur la planche. Je n'avais jamais fait d'équations trigonométriques auparavant et me voilà confronté à une question qui -me semble-t-il- ne fait appel à aucune formule de mon cours.
Un professeur à résolu le problème suivant (je ne vous demande donc pas la réponse à moins qu'il ne se soit trompé):
sin 3x = sin x
sin x = sin (pi/2 - 3x)
x = pi/2 - 3x + 2.k.pi ou x = pi - (pi/2 -3x) + 2.k.pi
x = - pi/4 (+) ou - k.pi ou x = pi/8 + k.pi/2

Voici mes questions:
Pourquoi as-t-on commencé par transformer sin 3x en sin (pi/2 - 3x) alors que la formule est sin x = sin (pi - x)?
Aussi comment fais-t-on pour transformer pi - (pi/2 -3x) + 2.k.pi
en pi/8 + k.pi/2?

Je vous serez infiniment reconnaissant d'éclairer ma lanterne sur cette matière dans laquelle j'ai toujours été mauvais en espérant que ma question ne paraisse pas trop pitoyable.
Merci d'avance!

par **nox** » 11 Sep 2006, 15:24

salut

je pense que ton prof s'est trompé.

D'ailleurs en vérifiant avec x = -pi/4 et pi/8 on voit que ça ne marche pas

entropik a écrit:la formule est sin x = sin (pi - x)

ca c'est bon, et après c'est tout droit

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 15:37

Je pense que l'enoncé original etait:
cos(3x)=sin(x)

non?

par **nox** » 11 Sep 2006, 15:38

waip ca expliquerait bien des choses !

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 15:41

Je vais quand meme dire pkoi.

pour changer un sinus en cosinus, on dit:

ou

ok?

par **entropik** » 11 Sep 2006, 16:11

Merci beaucoup pour vos réponses, je n'imaginais pas que vous seriez si rapides. Je regrette mais j'ai encore l'énoncé sous les yeux et c'était bien
sin 3x = sinx. Donc soit j'ai mal noté, soit le prof s'est trompé. Encore merci parce que je pensais vraiment que j'avais loupé un truc de base.

par **entropik** » 11 Sep 2006, 17:11

Pourriez-vous encore me dire si c'est bien comme cela que je dois procéder?
Si j'ai bien compris je dois rester dans les sinus donc je ne dois pas utiliser la formule de changement ci-dessus.
Donc l'énoncé devient:
3 sin x cos x = sin x
sin x (3cos x -1) = 0
Donc sin x = 0 et x = k.pi
ou 3cos x = 1 ce qui fait que cos x = 1/3
Mais que dois-je faire en suite? Comment savoir pour quels x cos x = 1/3 puisque que ce nombre n'est pas dans le formulaire?

par **nox** » 11 Sep 2006, 17:21

la fonction inverse du cosinus est l'arccosinus...donc cos(x) = 1/3 revient à x = arccos(1/3) mais bon en général les formules sont dans le formulaire tu es sur de l'énoncé encore une fois ?

par **entropik** » 11 Sep 2006, 17:38

Oui l'énoncé est bien sin x = sin 3x
Mais comment faire pour transformer arccos (1/3) en une réponse de type
a + 2k.pi ou pi-a+2k.pi? Est-ce la bonne méthode?
Je devrais peut-être transformer l'énoncé en sin x = sin (pi - 3x)
là j'aurais x = (pi - 3x) + 2k.pi ou x = pi - (pi - 3x) + 2k.pi
donc ça donnerait -2x = pi + 2k.pi ou x = pi - pi + 3x + 2k.pi
x = - pi/2 + 2k.pi ou -2x = 2k.pi
au final x = - pi/2 + 2k.pi ou x = k.-pi/2
Malheureusemen je ne crois pas que ce soit juste...
Merci de m'éclairer

par **nox** » 11 Sep 2006, 17:43

entropik a écrit:Oui l'énoncé est bien sin x = sin 3x

Ola..je croyais qu'on était passé à 3 sinx cosx = sinx ???

Alors 2 remarques :
1) sin 3x n'est pas égal à 3sin x cos x...ca marche que pour 2 ----> 2sin x cos x = sin(2x)
2) pour le problème que tu as posté si vraiment l'énoncé est sin(x) = sin(3x) ba c'est pas compliqué ca donne x = 3x donc la seule solution ca serait 0.
Je pense que Flodelarab a vu juste et que tu as mal copié (ou ton prof) le véritable exercice doit etre cos(3x) = sin(x) et là la résolution de ton prof est bonne

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 17:50

Attention!

La solution est arccos +2kPi mais aussi -arccos +2kPi

Comme pour le sinus, ya toujours 2 cas
sin(a)=sin(b) alors a=b [2Pi] ou a=Pi-b [2Pi]
cos(a)=cos(b) alors a=b [2Pi] ou a=-b [2Pi]

par **nox** » 11 Sep 2006, 17:52

waip...mais de toute façon là y a pas à tripoter les arccos...c'est faux comme tu l'as dit l'énoncé doit être avec un cos...

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 18:00

Je me moque de l'arccos.

Je ve qu'elle pense qu'une équation trigo implique toujours 2 solutions (hormis la période de 2kPi)

par **nox** » 11 Sep 2006, 18:01

bon ok jte laisse gérer ca ^^

comme ca moi jpeux rentrer chez moi!

par **entropik** » 11 Sep 2006, 18:37

Ah ok je ne savais pas que la formule ne marchait que pour sin (2x).
Mais quelque chose m'échappe toujours: la solution je peux la vérifier grâce à un logiciel de math et elle ne correspond pas puisque x = 0 n'est qu'une des solutions. Il y a aussi x = +- k.pi et x = +- pi/4 + 2.k.pi/4. Dommage que ce logiciel ne donne pas le raisonnement à chaque fois.
Donc je confirme que dans ma liste d'exercices il y a sin 3x = sin x mais il y a aussi sin x = cos 3x. Donc je me suis sûrement trompé de numéro d'exercice.
Il n'empêche que je n'arrive toujours pas à trouver comment atteindre ces solutions pour sin x = sin 3x... Et je ne pense pas que mon logiciel de math se trompe ou alors là je ne comprends plus rien. Si quelqu'un parvenait à trouver le raisonnement à employer, il me serait d'un grand secours.

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 18:46

Appliques mon petit memento:

sin(a)=sin(b) alors a=b [2Pi] ou a=Pi-b [2Pi]
cos(a)=cos(b) alors a=b [2Pi] ou a=-b [2Pi]

sin(3x)=sin(x)
3x=x [2Pi] OU 3x=Pi-x [2Pi]

Si tu appliques ceci tu ne te tromperas jamais.

ok?

par **entropik** » 11 Sep 2006, 19:01

Oui je le connais ce mémento, c'est même la seule chose indiquée avec mes exercices (sauf que [2Pi] est remplacé par +2k.pi mais je suppose que c'est ce que ça veut dire). Il n'empêche que je ne tombe pas sur les réponse que me donne le logiciel. Voici ce que je fais:
3x = x + 2k.pi ou 3x = pi - x + 2k.pi
2x = 2k.pi ou 4x = pi + 2k.pi
ce qui fait x = k pi/2 ou x = pi/4 + k.pi/2
Je suppose que je ne peux pas additionner le x au 3x comme je l'ai fais dans la 2ème étape mais comment fais-t-on alors?

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 19:09

entropik a écrit:Oui je le connais ce mémento, c'est même la seule chose indiquée avec mes exercices (sauf que [2Pi] est remplacé par +2k.pi mais je suppose que c'est ce que ça veut dire). Il n'empêche que je ne tombe pas sur les réponse que me donne le logiciel. Voici ce que je fais:
3x = x + 2k.pi ou 3x = pi - x + 2k.pi
2x = 2k.pi ou 4x = pi + 2k.pi
ce qui fait x = k pi/2 ou x = pi/4 + k.pi/2
Je suppose que je ne peux pas additionner le x au 3x comme je l'ai fais dans la 2ème étape mais comment fais-t-on alors?

2kpi divisé par 2 ça m'étonnerait que ça fasse kPi/2

Cette faute mise a part, tu trouves pareil que ton logiciel.

Dans le premier cas, que se passe t il si k=0 ?
Dans le deuxième cas, que se passe t il si k=-1 ?

Donc c bon

par **entropik** » 11 Sep 2006, 19:21

Arf c'est pas croyable, je cherchais des règles complexes mais en fait tout fonctionne avec ce simple petit mémento! Merci beaucoup pour vos précieuses aides, j'espère que j'aurai une question un peu plus sérieuse la prochaine fois!

Equation trigonométrique

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