équation

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 18:52

Bonjour je faisais cet exercice et j'aimerais quelques lumières merci

résoudre dans N le système suivant, d'inconues a b c

ab + bc + ca = abc
0< a < b < c

Supposons que a,b et c sont solutiion et voyons ce que cette hypothèse implique

En arithmétique, les inégalités donnent souvent des renseignements utilies. Par exemple si A < N, alors A ne peut pas prendre les valeurs 0, 1 , 2 ... N -1

On se souvient que la somme de n termes est inférieur à n fois le plus grand et supérieur à n fois le plus petit

Prouvez que a < 3 , Prouvez que a = 1 impossible

2tude de cas a = 2 on 2(b+c) = bc

déduisez de l'inegalité b
MERCI

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 19:14

si je traduis l'énoncé cela veut dire que j'ai

na < n ( n+1)/ 2 < nc

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 19:24

j'aimerais savoir si je poursuis ainsi je me trouve dans la bonne direction merci

na < n(n+1)/2 < nc équivaut à 2a < (n+1) < 2c en divisant par n puis en divisant par a on donc

0 < 2 < ( n + 1 ) / a < c / a est ce suffisant pour dire que a < 3

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 19:54

est ce juste ce que j'ai fait merci

par **LN1** » 29 Sep 2005, 20:05

Bonsoir,

traduction fausse
n(n+1)/2 = somme des n premiers entiers
cela n'a rien à voir avec na et nc
car a n'est pas le plus petit terme de ta somme et c n'en est pas le plus grand.

L'indication qui t'est fournie doit être appliqué à ton problème.
Où vois tu, dans ton problème posé, une somme?
C'est une somme de combien de termes ?
Quel est le plus grand ?
Quel est le plus petit ?
tu peux alors encadrer ta somme par deux expressions plus simple

Je te laisse démarrer, reviens nous voir quand tu auras répondu à une ou a plusieurs de mes questions.

Bon courage

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 20:20

on a la somme suivante

ab + bc + ca = abc soit donc

na < n abc < nc car 0 < a < b < c est correcte jusque là sinon pour la suite

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 20:35

non réfléchissons

n ab < n ( ab + bc + ca ) < n bc c bien ca que ça veut dire non répondez moi j'aimerais une petite aide

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 20:57

J'arrive à la conclusion suivante

3 ab < abc < 3bc en divisant par b on a : 3a < ac < 3c puis par c on a

3a / c < a < 3 est suffisant pour justifier que a < 3 répondez moi s'il vous plait

par **LN1** » 29 Sep 2005, 21:08

et bien ça me parait bon, tu raisonnes bien quand tu ne te précipites pas

il te suffit maintenant de vérifier que a ne peut pas valoir 1 (il suffit de remplacer a par 1 et de regarder ce qui se passe dans l'égalité)

reste à traiter le cas a = 2
tu remplaces a par 2 dans ton équation, tu tombes sur l'équation qu'on te donne;

ensuite, tu recommences
où vois tu une somme?
quel est le plus grand nombre? le plus petit ? etc

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 21:09

J'arrive à la conclusion suivante

3 ab < abc < 3bc en divisant par b on a : 3a < ac < 3c puis par c on a

3a / c < a < 3 est suffisant pour justifier que a < 3 répondez moi s'il vous plait

donc c bon pour prouvez que a < 3 hein c suffisant pour la démonstration ??

par **LN1** » 29 Sep 2005, 21:18

voir plus haut

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 21:21

Donc c bon tu confirmes car je doute de mon raisonnement

par **Bertrand Hamant** » 29 Sep 2005, 22:13

Oui tu as raison je me suis précipité sans reflexion, il ne faut pas avoir et douter de soi avec les exos de maths

si a = 1

on se retrouve à b +c = 0 ce qui est impossible d'après 0 a
et après

j'utilise la somme de 2 termes 2b + 2c = bc

4 b < bc < 4 c en divisant par c on a donc bien 4b / c < b < 4 avec b < 4

donc b = 3 puis on substitue et on trouve c =6

Merci encore de m'avoir remis confiance en moi

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