Equation

[sophie6217]

Bonjour je suis nulle en maths,est ce que vous pourriez m'aider en detaillant l plus possible pour que je puisse comprendre svp:
1°)Resoudr l'equation: z(-1-i)-1/5z+1+i=z
2°)soit A,B et C les points d'affixes respectives:z(a)=1+i: z(b)=-1+0.5i z(c)=-0.5-1.5i
Determiner la nature du triangle ABC
Donner le module et un argument de z(a).
Sivous pouviez m'aider ce serait sympa de votre part.(en detaillant le plus possible car je suis nulle)Vous remerciant d'avance.
Cordialement

[sophie6217]

Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa.
Vous remerciant d'avance.
Cordialement.

[sophie6217]

est ce qu quelqu'un pourrait m'aider svp.
Vous remerciant d'avance.
Cordialement

[zenaf]

Encore toi ? Mais ca n'arrete pas :)

[zenaf]

Bon je t'aide pour la derniere question l'autre j'ai trop sommeil pour refléchir.
Alors voila:
Tu calcule tous les modules |a-b|, |b-c| et |c-a|
Tu va surement en trouver deux qui sont égaux (ou les trois) donc le triangle sera isocele (ou equilatéral).

Verifie de plus si il est rectangle en faisant les quotients (regarde donc ton cours ;))


Pour finir, |z(a)|=racine(1²+1²)=racine(2)
arg(z(a))=PI/2.
En effet, racine(2)(cos (pi/2) + i sin (pi/2))=1+i. C'est l'un des points FONDAMENTAL !

[armor92]

Bonjour sophie6217,

Pour le 1°) c'est une équation du premier degré dans C. On fait comme pour une équation du premier degré dans R.
On met tout ce qui est facteur de z à gauche de l'égalité, on met tous les facteurs constants à droite.

Ca donne ici:
z(-1-i)-1/5z+1+i=z
z(-1 - i - 1/5 - 1) = -1 - i
z(-11/5 - i) = -1 - i
z = (1 + i)/(11/5 + i)

Pour avoir z sous la forme x + y i, on multiplie numérateur et dénominateur par (11/5 - i)
z = (1 + i) * (11/5 - i) / ((11/5 + i) * (11/5 - i))
z = (11/5 + 1 + i(11/5 - 1)) / (121/25 + 1)
z = (16/5 + i * 6/5) / (146/25)
z = 40/73 + 15/73 * i

[armor92]

Pour le 2°) le mieux est de placer les 3 points A,B,C sur un plan, ce qui donne une idée de la nature du triangle.

Une fois placés les points, on voit que le triangle est rectangle en B.

Pour le démontrer on peut montrer que l'angle (CBA) est égal à PI/2.
Comme suggéré par zenaf, on peut utiliser la méthode du quotient des complexes.

L'angle (CBA) est égal à PI/2 se traduit par :
arg((z(a) - z(b))/(z(c) - z(b)))= PI/2

Autrement dit (z(a) - z(b))/(z(c) - (b)) = k*i où k réel positif

[armor92]

Pour finir, |z(a)|=racine(1²+1²)=racine(2)
arg(z(a))=PI/2.
En effet, racine(2)(cos (pi/2) + i sin (pi/2))=1+i. C'est l'un des points FONDAMENTAL !

Comme montré par zenaf z(a)|=racine(1²+1²)=racine(2)
Par contre il y a une erreur sur l'argument de a.
z(a) = 1 + i = Racine(2) * ( 1 / Racine(2) + i / Racine(2))

1/Racine(2) = cos(PI/4) = sin (PI/4)
z(a) = |z(a)| * ( cos(PI/4) + sin(PI/4) * i )
Donc un argument de a est pi/4

[zenaf]

Oups oui je suis désolé :hein:
Pi/4 bien sur mais voila la méthode correcte pour le trouver
Soit 'a' l'angle cherché du nombre complexe z=x+iy.
Alors:
cos a = x/|z|=1/racine(2)=racine(2)/2
sin a = y/|z|=1/racine(2)=racine(2)/2

On en deduit alors a=Pi/4 à 2*k*Pi près.
Ainsi, arg(1+i)=Pi/4