équation

[DiamondF]

Bonjour, je n'arrive plus à me souvenir comment on obtient l
Pourriez-vous m'aider à obtenir la valeur de l
avec l = 5 - (16/l+3)

[pascal16]

l = 5 - 16/l-3
l=3-16/l

tu multiplies par l, tu as une équation du second degré.

Si l-3 est au dénominateur, multiplie tout par l-3

[Lostounet]

Bonjour, je n'arrive plus à me souvenir comment on obtient l
Pourriez-vous m'aider à obtenir la valeur de l
avec l = 5 - (16/l+3)

Salut,
Le dénominateur est (l+3) non?

[DiamondF]

Salut,

Oui le dénominateur est (l+3). En fait si tu veux, je suis à la dernière question d'un exercice sur les suites de récurrence.
J'avais U0=2 Un+1 = 5 - 16/Un+3
J'ai conjecturé graphiquement que la suite était convergente & bornée.
J'ai démontré que pour tout n, entier naturel, Un appartenait à l'intervalle [1;2]
Ensuite j'ai vérifié que la suite était décroissante.
J'ai dit que la suite converge vers un réel, car toute suite décroissante & minorée est convergente.
Et là, je dois déterminer par unicité de la suite la limite l de la suite U

[Lostounet]

Bonjour, je n'arrive plus à me souvenir comment on obtient l
Pourriez-vous m'aider à obtenir la valeur de l
avec l = 5 - (16/l+3)

En fait il faut juste que tu fasses attention au fait que dire l=5-16/l +3
C'est pas pareil que l=5-16/(l+3)

Bref, dans tous les cas, si le (l+3) te gêne, multiple les deux côtés de l'égalité par (l+3).

[DiamondF]

Ouais c'est ce que je viens de faire, j'ai trouvé l=1, j'ai vérifié sur Casio et je pense que c'est bon. Merci

[Lostounet]

C'est exact!
5-16/4= 1

Mais est-ce la seule possibilité? (oui..mais)

[DiamondF]

Vous dites qu'il existe un autre moyen de trouver directement la limite de la suite U ?

[Lostounet]

Vous dites qu'il existe un autre moyen de trouver directement que la limite de la suite U ?

Ta méthode est la plus simple je pense.
On peut chercher à expliciter (Un)

[DiamondF]

On peut chercher à expliciter (Un)

Donc dans certains exercices je verrai que la méthode que j'ai utilisée ne peut pas fonctionner, donc il faudra expliciter la suite en question?

[Lostounet]

La méthode que tu utilises fonctionne presque toujours, presque. Car des fois tu peux trouver une valeur L alors que la suite ne converge pas vers cette valeur. Si (Un) converge alors tu peux trouver des possibilités pour L.

Il faut justifier que la suite (Un) converge avant d'utiliser cette méthode.
Par exemple ici la suite est décroissante et minorée donc convergente!

Considère la suite V(n+1)=-V(n) avec V(0)=1.
Ta méthode dit L=-L donc 2L=0 donc L=0

Mais V(n)=(-1)^n cette suite ne converge pas vers 0.

[DiamondF]

D'accord, en fait faut se servir des théorèmes de convergence : " Si une suite est croissante & majorée alors cette suite converge "ou bien " Si une suite est décroissante & minorée alors cette suite converge "

En tout cas, je souhaite vous remercier du temps que vous m'accordez, car quand vous m'aidez, vous cherchez toujours à me faire voir le problème d'une autre façon ou par une autre méthode, et j'aime avoir "plus d'outils" à ma disposition pour pouvoir résoudre un exercice.

[Lostounet]

Considère la suite V(n+1)=-V(n) avec V(0)=1.
Ta méthode dit L=-L donc 2L=0 donc L=0

Mais V(n)=(-1)^n cette suite ne converge pas vers 0.

Je t'en prie, c'est toujours un plaisir d'aider des personnes sérieuses comme toi (comme sur la discussion de la fois dernière pour lever l'indétermination).

N'oublie pas de lire le passage que j'ai ajouté (et de te demander pourquoi la méthode ne marche pas!).

[DiamondF]

Considère la suite V(n+1)=-V(n) avec V(0)=1.
Ta méthode dit L=-L donc 2L=0 donc L=0
Mais V(n)=(-1)^n cette suite ne converge pas vers 0.

La méthode ne marche pas car la suite V(n) n'est pas monotone ?

V0 = 1
V1 = -1
V2 = 1
...

[Lostounet]

Disons que cela ne marche pas car les théorèmes de convergence que tu cites ne s'appliquent pas (car la suite est non monotone tu as raison).

Mais c'est pas pour autant que toutes les suites non monotones ne convergent pas: par exemple U(n)=sin(n)/n. Elle est non monotone mais converge! grâce à un autre théorème de convergence: le théorème des gendarmes .

Les théorèmes donnent des conditions suffisantes de convergence: si tu as ça alors tu as convergence.
Cela ne donne rien si on n'a pas les hypothèses (ça ne confirme ni ça n'infirme). Si les théorèmes ne s'appliquent pas, tu peux juste dire "je ne peux pas conclure avec ce théorème" (tu ne sais pas directement si ça converge ou ça diverge). Par exemple pour montrer qu'une suite diverge comme (-1)^n, il ne suffit pas de dire "ah elle n'est pas croissante et majorée/décroissante et minorée donc elle ne converge pas". Il s'avère qu'elle ne converge pas effectivement mais par un autre argument (par exemple en utilisant la notion de suite extraite).

Mais on commence à dépasser le programme .

[DiamondF]

En tout c'est très intéressant, merci !