Equation

[nonotte]

Bonjour, en voulant faire un exercice de maths pour m'entraîner je suis tombé la dessus mais j'ai un gros problème car cet exercice est construit avec tout mes points faible. Pourriez-vous m'aider ?

Consigne : On considère ma fonction f définie sur R par f(x) = x^4 -5x²+4 dont la représentation est donnée ci-dessous.

a) Développer l'expression (x²-1)(x²-4)
b) En déduire une factorisation complète de f
c) A l'aide d'un tableau de signes, déterminer le signe de f en fonction des valeurs de x.
d) Résoudre alors l'inéquation f(x)>0
e) Comment trouve t-on ce résultat sur le graphique ?

[Ericovitchi]

Bonjour, développe (x²-1)(x²-4) et montre que l'on retombe bien sur f(x)
Puis factorise x²-1 et x²-4 en utilisant le fait que c'est des a²-b²
Ensuite fait un tableau de signes avec tous les facteurs

[nonotte]

Je developpe donc (x^2 -1)(x^2-4)
Ce qui donne : 2x x 2x = 4x^2
2x x -4= -8x
-1 x 2x = -2x
-1x-4 =4
4x^2+8x+2x+4 = 4x^2+10x+4 c'est ca ?

[mella12]

Non ! Voici le début :
x²*x² x²*-4 -1*x² -1*4

[nonotte]

On utilise donc la double distributivité.

X^2 x x^2 = x^4
X^2 x (-4) = -4x^2
(-1)x x^2 = -1x^2
(-1)x(-4)= 4

X^4-5x^2+4 ca marche mais je ne comprend pas pourquoi il y a un moins dzvant le 5x^2 et pas un + ?

[mella12]

Car tu as -4x²-1x² tu soustrais et comme -4-1 = -5 normal que tu ai un - et d'ailleurs comme ça tu retrouve f(x)

[nonotte]

D'accord ensuite pour factoriser j'ai trouver ca :

[(x^2-1)+(x^2-4)][(x^2-1)-(x^2-4)]
(2x^2+(-5))(2x^2-(-5))

Dois-je calculer encore apres ce resultat ? Si oui je trouve ca :
4x^2+(-5-(-5))
=4x^4

[nonotte]

D'accord ensuite pour factoriser j'ai trouver ca :

[(x^2-1)+(x^2-4)][(x^2-1)-(x^2-4)]
(2x^2+(-5))(2x^2-(-5))

Dois-je calculer encore apres ce resultat ? Si oui je trouve ca :
4x^2+(-5-(-5))
=4x^4

[mella12]

Je vois que tu as fais (a-b)(a+b) c'est bien sauf que tu as pas pris les bons a et b
Pour (x²-1), a=x et b=1 car 1²=1
Pour (x²-4), a=x et b=2 car 2²=4
Ensuite tu remplace les a et b dans cette expression a²-b²=(a-b)(a+b) en faisait d'un côté pour (x²-1) et de l'autre pour (x²-4)

[nonotte]

Ce qui donne donc : (x²-1) = (x-1)(x+1) et (x²-4)= (x-4)(x+4)
J'utilise la double distributivité ce qui donne alors :
(x-1)(x+1) :
x*x = x²
x*1= x
-1*x = -1x
-1 + 1 = 0
Réponse : (x²)

Je fais de même pour (x²-4) : (x-4)(x+4)
x*x=x²
x*4= 4x
-4*x = -4x
-4 + 4 = 0
Réponse : (x²)

On s'aperçoit que (x²) est le facteur commun.

DONC la factorisation est : x² c'est ça ?

[mella12]

Tu t'es trompé juste à la fin, quand tu dois multiplier -1 * 1 pour la première et -4 + 4 pour la deuxième car tu as fais des additions mais c'est des multiplications

[mella12]

Mais de toute façon ça ne sert à rien de développer car on veut une forme factoriser et après tu seras avec des x² ce qui sera plus difficile pour mettre dans le tableau de signe donc utilise ce que tu as trouvé juste avant

[nonotte]

D'accord donc ma forme factoriser est : (x-1)(x+1)(x-4)(x+4) dois-je mettre des crochets ? [(x-1)(x+1)] [(x-4)(x+4)]

[mella12]

Non pas la peine car c'est une suite de multiplication et il n'y a pas de calcul à faire en premier, tout se fait à suivre. Quel signe tu trouve à la fin ?

[nonotte]

(x-1)(x+1) - (x-4)(x+4) c'est ça ?

[mella12]

Non non c'est des multiplications donc dans ton tableau il y aura une ligne (x-1), une ligne (x+1), une ligne (x-4) et une ligne (x+4) et après tu multiplies les signes dans une 5ème ligne et tu trouves.. ?

[nonotte]

Ah d'accord, pour le tableau je comprend mais au final la factorisation c'est : (x-1)(x+1) (x-4)(x+4). C'est tout ?

Après pour le tableau ca donne :

x.....................- Infini........... -4 ........-1...........1........4.....+Infini
(x-1)............................-.............-...........-......0...+.......+
(x+1)...........................-.............-......0....+...........+......+
(x-4)...........................-.............+............+..........+....0...+
(x+4)..........................-.........0.....+..........+..........+.......+
(x-1)(x+1) (x-4)(x+4)....+........0.....+.....0.....-......0...+....0.+

Voila mon tableau c'est ça ?

[Ericovitchi]

non, d'abord les points qui font changer de signe l'expression et que tu dois avoir dans la ligne x c'est -2;-1;1;2 et pas 4 ou -4
Ensuite dans la ligne récapitulative tu dois forcement trouver + - + - +

[nonotte]

Ah oui, effectivement! Je me suis trompé.
Le tableau j'ai trouver comme vous à la fin. C'est une erreur de ma part.

Pour résoudre l'inéquation f(x)>0, j'ai fais comme ça est-ce juste ?

f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

x-1 > 0 ..........x+1>0..........x-2>0..........x+2>0
x>1................x>-1............x>2.............x>-2


Ou sinon, je regarde le tableau c'est la même chose : ce qui donne :

S=]-Infini;-2[U[-1;2[

Ma réponse est juste ?

[Ericovitchi]

heu non, c'est positif quand x appartient à ]-Infini;-2[U]-1;1[U]2;+Infini[
Cf le tableau de variations.