équation du second degré paramétrée

[laetidom]

Bonsoir @ tous,

J'essaye de comprendre une correction, un peu d'aide me serait très bénéfique, merci d'avance ! :

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Déterminer m pour que l'équation ait 2 solutions x' et x" telles que
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Pour moi, pour que l'on ait 2 solutions il faut que et la correction dit qu'il faut et qu'il suffit que . . .

et la correction rajoute qu'il faut que soit du signe de ===> j'ai du mal à visualiser les conditions à remplir pour obtenir la réponse,

Je sais que l'on doit aboutir à mais je suis bloqué ! . . .

[Ben314]

Salut,
On doit surement s'en sortir avec du puis l'évaluation des (éventuelles) racine, puis la résolution des deux inéquations x'<1 et 1<x, et ça ne doit même pas être super long.

Sauf qu'il y a (un peu) plus rapide et.. beaucoup plus joli (à mon sens) vu que ça demande quasiment pas de calculs :
1) Si m>-4 alors le "a" du polynôme est >0 donc la parabole est "tournée vers le haut" (i.e. les limites en +-oo sont égales à +oo)
Donc, si f(1)<0, on est sûr que f a (au moins) une racine entre -oo et 1 (vu qu'elle passe de +oo à un <0) et, de même, on est sûr qu'il y a (au moins) une racine entre 1 et +oo (vu qu'elle passe d'un <0 à +oo).
Sauf qu'un polynôme de degré 2 admet au plus 2 racines, donc il y en a une (et une seule) <1 et l'autre >1. C'est donc O.K.
Réciproquement, si f admet deux racines x'<1<x, alors f(1)<0 vu que dans un tel cas (a>0), on sait que f<0 sur l'intervalle ]x,x'[.
2) Même raisonnement dans les cas m<-4 où la parabole est "dirigée" vers le bas on aura deux racines x,x'telles que x'<1<x si et seulement si f(1)>0.
3) Reste le cas particulier m=-4 mais c'est vite réglé : l'équation n'est que de degré 1 et donc ne risque pas d'avoir 2 racines.
f admet deux racine x et x' telles que x'<1<x si et seulement si (m>-4 et f(1)<0) ou bien (m<-4 et f(1)>0)

Tu veut que je tente la rédaction "calculatoire" avec ?

[laetidom]

Merci Ben !, je vais regarder tout ce que tu m'as écrit !, merci encore !

[Ben314]

Il y avais pas mal de fautes de frappes (des 4 à la place de -4) et j'ai un peu complété avec un "bilan".

[laetidom]

Il y avais pas mal de fautes de frappes (des 4 à la place de -4) et j'ai un peu complété avec un "bilan".

ah d'accord, je vais étudier ça ! . . merci !

[laetidom]

Bonsoir,

Après étude, j'en arrive à écrire cette solution, mais est-ce correct ? (c'est comme ça que je le comprends . . . ) :

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f admet deux racines x' et x" telles que x'<1<x" si et seulement si :

Si a > 0 alors m

Si a < 0 alors m
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sachant que la correction ne faisait état que de :

90.JPG (27.58 Kio) Vu 633 fois

Donc je suis un peu perdu . . .



@ Ben : Que voulais-tu dire par la rédaction "calculatoire" avec ? . . . Si ça peut me faire mieux comprendre, pourquoi pas si tu as le temps bien sûr ?

Merci d'avance pour un nouvel éclaircissement !

[Ben314]

La rédaction "calculatoire", ça consiste à calculer
puis à dire que, pour que P admette deux racine x et x' telles que x'<1<x, il faut et il suffit que :

puis à résoudre le système (à priori en considérant deux cas m>4 et m<4)

Sinon, la "méthode simple", ça consiste effectivement à faire un petit laïus pour montrer que P admette deux racine x et x' telles que x'<1<x si et seulement si est non nul et est de signe (strictement) opposé à celui de .
Et on termine avec un simple tableau de signes (avec et )

[chan79]

La rédaction "calculatoire", ça consiste à calculer

salut
petite étourderie pour le dernier 4


sinon, 1 est situé entre les racines x' et x" si: (x'-1)(x"-1) <0
x'*x"-(x'+x")+1<0
-1/(m+4)+2m/(m+4)+1<0
soit
(3m+3)/(m+4)<0
on aboutit bien à ]-4;-1[

[laetidom]

Merci Ben et chan pour ces infos ! Je me suis bien aperçu que la solution que j'avais donné était fausse car avec a>0 et a<0 elle couvrait tout !?



Le passage de l'un à l'autre ne me vient pas, ça m'échappe et ça doit être trivial en plus j'imagine, est-il possible de faire une phrase ou deux pour que je comprenne ?

91.JPG (14.42 Kio) Vu 601 fois

Merci d'avance à vous ! Sinon après, c'est immédiat !

[chan79]

on envisage 4 cas:
si x'<1 et x''<1 alors (x'-1)(x"-1)>0
si x'<1 et x">1 alors (x'-1)(x"-1)<0
si x'>1 et x"<1 alors (x'-1)(x"-1)<0
si x'>1 et x">1 alors (x'-1)(x"-1)>0
1 est donc strictement compris entre les racines ssi (x'-1)(x"-1)<0

[Ben314]

petite étourderie pour le dernier 4

Effectivement.

Sinon, dans ton laïus, il me semble qu'il manque un argument concernant l'existence de x et x'.
Dans le cas présent, cette existence est assurée par le fait que pour tout m, mais si on reprend ce que tu as écrit en se plaçant dans le cas général de ax²+bx+c, il me semble que ta conclusion sera uniquement :
Si le polynôme admet deux racines réelles, alors ces dernières seront de part et d'autre de 1 ssi
Et il faudra regarder si cette dernière condition implique que le polynôme admet deux racines réelles (ce qui est vrai, mais pas "trivial")

[chan79]

On aide mais on ne rédige pas forcément tout
On connait laetidom qui a vu que delta était strictement positif pour tout m (différent de -4)

[laetidom]

Merci @ vous deux pour toutes ces réflexions intéressantes !, j'ai tout repris et me suis fait ma propre conclusion fruit de votre aide, je ne sais pas ce que ça vaut mais j'arrive à la correction que j'avais donc l'objectif est atteint et je vous en remercie vivement encore !

Ce que je joins est une conclusion au brouillon avec toutes mes réflexions (ce que je comprend) et n'est pas la conclusion attendue sur une copie bien évidemment.

Je vous la transmets pour avis :
1/2 : http://www.cjoint.com/c/FKzuiSHyS57
2/2 : http://www.cjoint.com/c/FKzuj6yRaf7

Petite question qui va vous paraître basique mais là elle m'échappe : dans le 2/2, là où j'ai souligné en magenta :

J'ai multiplié la première "quantité ou distance" (x' - 1) par la seconde (x" - 1) puis on déroule le calcul . . . ça c'est ok !

Ma question : pourquoi à ce moment précis il faut multiplier, et pas faire la somme où que sais-je . . . pourquoi il faut penser à " m u l t i p l i e r ". . .? ===> multiplier " fait " q u o i ? (une ou deux phrases simples pourraient me "débloquer" . . . sur cette action précise à ce moment-là de la réflexion intellectuelle de résolution de cette question qui décidemment m'a très gêné !)

Voilà je ne vous embête pas davantage !

Merci pour tout complément d'information que je recevrais avec bonheur ! On est tous perfectible je pense . . . Merci

[chan79]

Bonjour
Un essai de rédaction plus détaillée:
On veut déterminer m pour que 1 soit compris strictement entre les racines x' et x".
1 compris strictement entre les racines x' et x" signifie (x'<1 et x">1) ou (x'>1 et x"<1)

(x'<1 et x">1) ou (x'>1 et x"<1) équivaut à (x'-1<0 et x"-1>0) ou (x'-1>0 et x"-1<0)

ce qui équivaut à (x'-1)(x"-1)<0

en effet un produit de deux facteurs est strictement négatif ssi les facteurs sont de signes contraires

Bon WE

[laetidom]

Merci chan !, j'ai enfin tout bien compris, effectivement ! . . .

Merci @ tous les deux ! Bon WE également !