Equation Parabole passant par trois points

[Proriko]

Salutation ,

Il me faut trouver l'équation d'une parabole passant par les points:

A(-2;-3) B(0;3) C(4;3)

Je n'ai aucun souvenir de la manière dont je dois m'y prendre et j'aimerais de l'aide pour ça...

Je sais tout de même qu'il me faut y = ax²+bx+c

[Sourire_banane]

Salutation ,

Il me faut trouver l'équation d'une parabole passant par les points:

A(-2;-3) B(0;3) C(4;3)

Je n'ai aucun souvenir de la manière dont je dois m'y prendre et j'aimerais de l'aide pour ça...

Je sais tout de même qu'il me faut y = ax²+bx+c

Salut,

Voilà, il te faut au moins ça, et faire trois petites équations à l'aide des coordonnées de tes points.

[ampholyte]

Bonjour,

Il suffit de résoudre le système en utilisant les points.

Si l'équation passe par A, B et c alors on doit trouver a, b et c tel que :

[Sourire_banane]

Bonjour,

Il suffit de résoudre le système en utilisant les points.

Si l'équation passe par A, B et c alors on doit trouver a, b et c tel que :

Salut Ampholyte.
Pourquoi fait-on ces équations ?

[siger]

bonjour,

si la parabole passe par les trois ponts A, B et C , cela signifie que les coordonnees des points verifient l'equation y = ....
trois points donc trois equations lineaires pourdeterminer les trois inconnues a, b et c.

[Sourire_banane]

Bon ben siger a répondu !

Voilà, je pense que notre demandeur a tout ce qu'il lui faut !

[ampholyte]

Salut Ampholyte.
Pourquoi fait-on ces équations ?

On sait que le résultat attendu est une parabole donc de la forme y = ax² + bx + c. On sait également que cette parabole passe par A, B et C d'où le système de 3 équations à 3 inconnues plus haut =).

[Proriko]

Donc si j'ai bien compris
Ya=a(-2)²+b(-2)+C
=4a-2b+c

Donc -3=4a-2b+c ?

[ampholyte]

Donc si j'ai bien compris
Ya=a(-2)²+b(-2)+C
=4a-2b+c

Donc -3=4a-2b+c ?

Voilà tu as tout compris. Il te suffit de faire la même chose pour les 2 autres points puis de résoudre le système pour trouver a, b et c

[Sourire_banane]

On sait que le résultat attendu est une parabole donc de la forme y = ax² + bx + c. On sait également que cette parabole passe par A, B et C d'où le système de 3 équations à 3 inconnues plus haut =).

C'est pas pour moi mais pour le demandeur.
J'ai souvent vu des élèves ne pas comprendre le pourquoi de ces équations. C'est pour ça qu'il me semblait important de laisser cette précision à l'élève.

[Proriko]

Le résultat est -3=4a-2b+c ou 4a + 2b + c ?

Sinon j'ai trouvé a(0)² + b (0) + c
Ce qui équivaut à c = 3

a(4)²+b(4)²+c = 16a+4b+c = 4a+b+c

[ampholyte]

Maintenant que tu as trouvé c = 3.

Tu dois utiliser les deux autres équations pour en déduire a et b.

[Proriko]

et est-ce que c'est -3=4a-2b+c ou 4a + 2b + c ?

Pour la suite je ne sais pas comment faire...

[siger]

et est-ce que c'est -3=4a-2b+c ou 4a + 2b + c ?

Pour la suite je ne sais pas comment faire...

Re

Il est temps de resumer!

y = ax² + bx + c
Si la parabole passe par les trois points A, B et C, les coordonnees de ces points verifient son equation

point A : -3 = 4a -2b + c
point B : 3 = c
point C = 3 = 16a + 4b + c

soit encore
c = 3
et en remplacant c par sa valeur
-6 = 4a - 2b ou -3 = 2a -b
0 = 16a + 4b ou 0 = 4a + b

il reste donc le systeme
b - 2a = 3
4a + b = 0
qui permet de calculer a et b

[Rodocol]

Les points B(0,3) et C(4,3) sont symétriques par rapport à l’axe de symétrie x=2 donc l’ équation de P peut s écrire y=a(x-2)^2 +c ==> il n y a déjà plus que 2 inconnues
A appartient à P et B appartient à P
==>16a+c=-3 et 4a+c=3 donc simple système de 2 éq à 2 inc...

[chan79]

salut
on peut remarquer que B et C ont la même ordonnée 3.
donc f'(2)=0
4a+b=0
il faut avoir vu les dérivées

[Pierre256]

Bonsoir,
La parabole est une fonction très intéressante en lissage de courbe.
Par trois points il passe toujours une parabole et une seule.
Si on a une succession de points non alignée, il existe une ligne constituée d'arcs de parabole continue et sans angle. La construction de cette ligne est très intéressnte en calcul, puisqu'elle ne nécessite que des divisions par 2.
Evidemment, je réagis un peu indépendamment de cet exercice niveau lycée, mais il me parait important de le rappeler. Donc, pardon pour cette intervention parasite.

[Black Jack]

Bonsoir,
La parabole est une fonction très intéressante en lissage de courbe.
Par trois points il passe toujours une parabole et une seule.
Si on a une succession de points non alignée, il existe une ligne constituée d'arcs de parabole continue et sans angle. La construction de cette ligne est très intéressnte en calcul, puisqu'elle ne nécessite que des divisions par 2.
Evidemment, je réagis un peu indépendamment de cet exercice niveau lycée, mais il me parait important de le rappeler. Donc, pardon pour cette intervention parasite.

En es-tu bien sûr ?

Evidemment, en secondaire, on n'emploie presque exclusivement que des paraboles avec l'axe principal parallèle à l'axe des ordonnées.

Si on est dans ce cas, il existe cependant des cas où on ne peut pas faire passer une parabole par 3 points donnés (pense par exemple à 3 points alignés ... et ce n'est pas le seul cas impossibles)

Et si on ne restreint pas à des paraboles avec l'axe principal parallèle à l'axe des ordonnées ... donc qu'on inclut aussi les paraboles à axe principal oblique par rapport à l'axe des ordonnées du repère, alors il m'étonnerait fort qu'il n'existe qu'une seule parabole passant par 3 points dont les coordonnées sont imposées.

Donc si on veut généraliser, il est prudent de préciser les conditions ... ce qui est presque systématiquement oublié dans les études secondaires.

[aviateur]

Bonjour

Exemple simple soient: z1=(-1,1) z2=(0,0) z3=(1,1)
Il y a la parabole qui passent par les trois points mais il y en a bien d'autres.

Voir le dessin ci-joint.

https://i.postimg.cc/0N9s2J32/parabole.jpg

[Pierre256]

Bonjour,
J'ai été un peu rapide, donc je reformule.
Soit trois points A B C, non alignés, il existe un arc de parabole et un seul passant par A, tangent à AB et passant par C et tangent à BC.
Par construction/calcul on peut déterminer le point P milieu de MB, M étant le milieu de AC.
D'où la conclusion, un peu rapide, par les 3 points APB, il passe un arc de parabole et un seul.
Il était sous-entendu que les 3 points dont je parlais dans mon message précédente étaient à considérer dans un ordre donné.
Je pense que si la parabole est un peu étudiée en terminale, c'est parce qu'elle a un intérêt considérable dans des quantités de domaines.
Pour mémoire, bon nombre de logiciels dessinent les courbes de niveau par une succession d'arcs de parabole. On peut aussi utiliser cette méthode pour dessiner des arcs de cercle etc. .