Equation exponentielle

[mathematixe]

Bonjour à tous, je suis bloqué a la dernière question de mon DM, j'ai beau chercher rien ne me vient à l'esprit...
Voici la question : Montrer qu'il existe une unique valeur de a pour laquelle . a étant strictement supérieur à 1. Merci d'avance pour votre aide, je suis ouvert à toutes aides possibles!

[Tiruxa47]

Bonjour,
Cette question découle des précédentes.
Quelle fonction as tu étudiée plus haut ? Sans doute f telle que f(x)=exp(x) - x²-x , ou quelque chose d'approchant.
Dans ce cas le th des valeurs intermédiaires permet de conclure

[mathematixe]

À vrai dire c'est un exercice sur les intégrales, j'ai deux fonctions C() et T (g(x)=). J'ai prouvé que l'aire A comprise entre C et T et les droites d'équations x=0 et x=1 est égale à 3-e.
Ensuite on me dit soit S(a) l'aire de la partie du plan comprise entre C et T et les droites d'équations x=1 et x=a (a>1). On me donne l'expression de S(a) :
J'ai prouvé que S(a)=a équivaut à et là on me dit montrer qu'il existe une unique valeur de a pour laquelle les aires A et S(a) sont égales donc j'en ai déduit que je devrais résoudre l'équation qu'on m'a donné, me suis-je trompé..? Je ne sais vraiment pas quoi faire je suis totalement bloqué...

[siger]

bonjour

attention, on te demande de montrer que a existe et est unique, .......mais pas de calculer a!
peut etre peut on faire un encadrement?
si x = 1 , e^x est inferieur à x^2 + x+ 1
si x= 2, e^x est superieur ...'
.....

[mathematixe]

si x=2, e^x >x^2+x+1
Mais le fait de faire un encadrement me montre que x existe mais pas qu'il est unique non ..?

[Manny06]

soit f(x)=e^x -x²-x-1
f'(x)=e^x-2x-1
f"(x)=e^x-2
pour x>1 f"(x)>0 donc f'(x) croissante calcule f'(1) et lim quand x tend vers + infini de f'(x)
deduis en que f'(x) s'annule pour une valeur b>1
fais le tableau de variations de f(x) pour x>=1
calcule f(1) tu dois en déduire l réponse
N.B il y a surement plus simple

[mathematixe]

Et quelle serait cette solution plus simple si quelqu'un la sait..?

[pascal16]

Wello,
pour moi aussi, il faut aller jusqu'à la dérivée seconde.

[mathematixe]

Ok super merci à vous !!!