Equation différentielle, fonction exponentielle...

[alice32]

Partie A : Résolution de l'équation différentielle (1) : y' - 2y = xe^x

1. Résoudre l’équation différentielle (2) : y;);)2y = 0, où y désigne une fonction
dérivable sur R.

2. Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par
u(x) = (ax +b) e^x.

a. Déterminer a et b pour que u soit solution de l’équation (1).

b. Montrer que v est une solution de l’équation (2) si, et seulement si, u+v
est solution de (1).

c. En déduire l’ensemble des solutions de (1).

3. Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.


1) je trouve que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme f (x) = ke^(2x) où k est un réel quelconque.

2a) Je trouve a = -1 et b = -1 donc u(x) = (-x-1)e^x

2b)Je ne comprend pas vraiment comment procéder...

2c) je ne comprend pas non plus...

??


Merci d'avance!!

[rene38]

Bonjour

Partie A : Résolution de l'équation différentielle (1) : y' - 2y = xe^x
1. Résoudre l’équation différentielle (2) : y;);)2y = 0, où y désigne une fonction
dérivable sur R.

2. Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par
u(x) = (ax +b) e^x.

a. Déterminer a et b pour que u soit solution de l’équation (1).

b. Montrer que v est une solution de l’équation (2) si, et seulement si, u+v
est solution de (1).

c. En déduire l’ensemble des solutions de (1).

3. Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.


1) je trouve que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme f (x) = ke^(2x) où k est un réel quelconque.

2a) Je trouve a = -1 et b = -1 donc u(x) = (-x-1)e^x

2b)Je ne comprend pas vraiment comment procéder...

2c) je ne comprend pas non plus...

2.b) u étant solution de l'équation (1) (c'est à dire u'-2u=xe^x), tu démontres que :
- si u+v est solution de (2) (c'est à dire (u+v)'-2(u+v)=0)
alors v est solution de (2) c'est à dire ...
- réciproquement si v est solution de (2) alors u+v est solution de (2)
2.c) Tu connais u, tu connais v ; reste à appliquer le résultat de 2.b)

3. Détermination de k.

[alice32]

Je trouve v(x) = -(x+1)e^x + ke^(2x) où k appartient à R

Est-ce juste?

[alice32]

La question 3 j'ai vraiment besoin d'être guidé&e car je ne comprend pas du tout...

[rene38]

Je trouve v(x) = -(x+1)e^x + ke^(2x) où k appartient à R

Est-ce juste?

Oui ; autrement dit, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' - 2y = xe^x est l'ensemble des fonctions v de iR dans IR telles que lorsque décrit .
Il y a donc une infinité de solutions.

3. Est tout simple : parmi l'infinité de solutions, on cherche une solution en se posant la question : que vaut pour que ?

[alice32]

ahhh d'accord!!

Je trouve que k = 1

est ce juste?

Merci beaucoup!!!

[rene38]

C'est aussi ce que j'ai trouvé.

Bon après-midi.