Equation de droite et vecteur 1S

par **Magalie0011** » 14 Mai 2008, 17:16

Bonjour,

J'ai un exo sur les équations de droite, avec des vecteurs. C'est dans le chapitre Produit Scalaire.

Le voici :

1. Trouvez un vecteur normal à d.
2. Trouvez une équation de la droite "delta" passant par le point A (x ; y) et perpendiculaire à d.

a/ d : y = 2x - 3 et A ( 0 ; 3)
b/ d : y = 3 et A ( -1 ; 3)
c/ d : x + 4y - 7 = 0 et A ( -1 ; -1)
d/ d : x - y - rac. 2 et A ( rac. 2 ; 1)
e/ d : 2x + - y + 4 = 0 et A ( 0 ; 4)

Voici mes réponses :

a/ d : y = 2x - 3 et A ( 0 ; 3)

1. Le vecteur u (2 ; 0) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -2y + alpha = 0 or A(0;3) est un point de delta donc : -6 + alpha = 0 d'où alpha = 6 et 2y - 6 = 0 est une equation de delta.

b/ d : y = 3 et A ( -1 ; 3)

1. Le vecteur u (0 ; 0) est normal à d.
2. Meme rédaction et je trouve : x = -1 mais je ne suis pas sur.

c/ d : x + 4y - 7 = 0 et A ( -1 ; -1)

1. Le vecteur u (1 ; 4) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : 4x - y + alpha = 0 je trouve que alpha = 3 donc -4x + y -3 = 0 est une equation de delta.

d/ d : x - y - rac. 2 et A ( rac. 2 ; 1)

1. Le vecteur u (1 ; -1) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -x - y + alpha = 0 je trouve que alpha = rac. 2 + 1 donc x + y - rac.2 -1 = 0 est une equation de delta.

e/ d : 2x + - y + 4 = 0 et A ( 0 ; 4)

1. Le vecteur u ( 2 ; -1) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -x - 2y + alpha = 0 je trouve alpha = -8 donc x + 2y + 8 = 0 est une équation de delta.

Est ce que mes réponses sont justes? Est ce que le raisonnement est bon?

Merci de votre aide.

par **HC53** » 14 Mai 2008, 17:55

Bonjour,
lorsque tu as une équation de droite de la forme :
d : ax+by+c = 0
un vecteur normal à d est n(a,b)
ensuite pour ta 2è question ce vecteur normal devient vecteur directeur de la droite delta.

par **Magalie0011** » 14 Mai 2008, 18:00

Mais dans le cours, on me dit que u (-b ; a)

Les résultats ne sont pas bon ? Quelle est la méthode ?

par **Magalie0011** » 14 Mai 2008, 19:43

Quelqu'un peut il m'aider svp ?
Je vous remercie.

par **Dr Neurone** » 14 Mai 2008, 19:58

Bonsoir Magalie0011 , des shushis ?

par **bombastus** » 14 Mai 2008, 20:00

Bonjour,

Si on a :
d : ax+by+c = 0
alors u (-b ; a) est un vecteur directeur de la droite d.

Et n(a,b) est un vecteur normal à la droite d.

par **Magalie0011** » 16 Mai 2008, 16:14

Ah. Donc je me suis trompée partout.

Comme j'aimerais essaye de faire l'exo sans aide, est ce qu'on peut me donner la méthode pour la question 2. (Trouvez une équation de la droite "delta" passant par le point A (x ; y) et perpendiculaire à d) svp ?

Je vous en remercie.

par **bombastus** » 16 Mai 2008, 16:23

La suite de ton raisonnement était juste pour la question 2 :

Un vecteur qui est normal à la droite d est un vecteur directeur de toutes les droites qui sont perpendiculaires à la droite d.

Donc si tu trouves un vecteur normal à d, ce sera un vecteur directeur de la droite delta. Tu connais la suite...

par **Magalie0011** » 16 Mai 2008, 16:33

a/ d : y = 2x - 3 et A ( 0 ; 3)

1. Le vecteur u (2 ; 0) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -2y + alpha = 0 or A(0;3) est un point de delta donc : -6 + alpha = 0 d'où alpha = 6 et 2y - 6 = 0 est une equation de delta.

b/ d : y = 3 et A ( -1 ; 3)

1. Le vecteur u (0 ; 0) est normal à d.
2. Meme rédaction et je trouve : x = -1 mais je ne suis pas sur.

c/ d : x + 4y - 7 = 0 et A ( -1 ; -1)

1. Le vecteur u (1 ; 4) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : 4x - y + alpha = 0 je trouve que alpha = 3 donc 4x - y +3 = 0 est une equation de delta.

d/ d : x - y - rac. 2 et A ( rac. 2 ; 1)

1. Le vecteur u (1 ; -1) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -x - y + alpha = 0 je trouve que alpha = rac. 2 + 1 donc -x - y + rac.2 +1 = 0 est une equation de delta.

e/ d : 2x + - y + 4 = 0 et A ( 0 ; 4)

1. Le vecteur u ( 2 ; -1) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -x - 2y + alpha = 0 je trouve alpha = -8 donc -x - 2y - 8 = 0 est une équation de delta.

C'est bon comme sa?

par **Dr Neurone** » 16 Mai 2008, 16:39

Bonjour Mag' , tu t'en sors ? j'ai juste lu la 1ère ligne et ...pas bon !
"Le vecteur u (2 ; 0) est normal à d"

par **bombastus** » 16 Mai 2008, 16:49

Tu n'as rien changé, là?

Pour chaque 1., tu donnes un vecteur directeur de d et non un vecteur normal!

Si on a :
d : ax+by+c = 0 (ne pas oublier de mettre d sous cette forme)
=> n(a,b) est un vecteur normal à la droite d.

par **Magalie0011** » 16 Mai 2008, 16:59

A oui. je vois là ! :marteau:

a/ d : y = 2x - 3 et A ( 0 ; 3) équivaut à 0 = 2x - y - 3

1. Le vecteur n (2 ; -1) est normal à d.

Et j'ai trouvé une autre méthode pour la question 2.

2. Le vecteur n ( 2; -1) est normal à d, donc dirige la droite delta. Cette droite est donc l'ensemble de spoints M(x;y) tels que BM et n sont colinéaires. Or BM a pour coordonnées ( x-0) ; ( y-3) et "BM et n sont colinéaires " équivaut à : (x-0) x (-1) - (y-3) x 2 = 0

donc delta est donc -x -2y -6 = 0

Si la méthode est bonne, je peux continue de cette manière ?

b/ d : y = 3 équivaut à 0 = -y +3

1. n (0; -1)
2. delta est -x + 1 = 0

après pour les autres je pense que c'est bon non?

par **Magalie0011** » 16 Mai 2008, 19:04

Est ce qu'on peut me confirmer si je suis sur la bonne voie ou pas ?
Merci.

par **Dr Neurone** » 16 Mai 2008, 19:16

Hey miss Mag' tu es encore la dessus ?
Tu as compris le principe ou tu veux un remake ?

par **bombastus** » 16 Mai 2008, 20:19

Magalie0011 a écrit:a/ d : y = 2x - 3 et A ( 0 ; 3) équivaut à 0 = 2x - y - 3

1. Le vecteur n (2 ; -1) est normal à d.

Et j'ai trouvé une autre méthode pour la question 2.

2. Le vecteur n ( 2; -1) est normal à d, donc dirige la droite delta. Cette droite est donc l'ensemble de spoints M(x;y) tels que BM et n sont colinéaires. Or BM a pour coordonnées ( x-0) ; ( y-3) et "BM et n sont colinéaires " équivaut à : (x-0) x (-1) - (y-3) x 2 = 0

donc delta est donc -x -2y +6 = 0

Alors mise à part une erreur de signe sur la dernière ligne (mis en rouge), la méthode est bonne, mais je ne suis pas sûr que tu puisses utiliser ce que tu as écrit :
"BM et n sont colinéaires " équivaut à : (x-0) x (-1) - (y-3) x 2 = 0
Pour écrire cela, tu as utilisé une propriété du produit vectoriel (Si deux vecteurs sont colinéaires, alors leur produit vectoriel est nul), donc question : Est ce que tu connais le produit vectoriel (qui se note BM^n)???

Sinon ta première méthode était plus simple à appliquer..

par **Magalie0011** » 17 Mai 2008, 09:28

B en fait, cette méthode est dans un exo corrigé du même type, donc je me suis servie de la correction.

Sinon, pour les autres calculs, c'est bon ou pas ?

par **bombastus** » 17 Mai 2008, 10:15

C'est toi qui voit, mais si tu n'as pas étudié le produit vectoriel, tu auras du mal à comprendre ce que tu fait.

Magalie0011 a écrit:b/ d : y = 3 équivaut à 0 = -y +3

1. n (0; -1) OK
2. delta est -x + 1 = 0 Faux

Il y a encore une erreur de signe sur delta! (un bon de moyen pour vérifier si il y a une erreur, c'est de vérifier que A appartient à delta, or dans ce cas, xA=-1 et -(-1)+1=1+1=2 donc différent de 0).

Magalie0011 a écrit:c/ d : x + 4y - 7 = 0 et A ( -1 ; -1)

1. Le vecteur u (1 ; 4) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : 4x - y + alpha = 0 je trouve que alpha = 3 donc 4x - y +3 = 0 est une equation de delta.

d/ d : x - y - rac. 2 et A ( rac. 2 ; 1)

1. Le vecteur u (1 ; -1) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -x - y + alpha = 0 je trouve que alpha = rac. 2 + 1 donc -x - y + rac.2 +1 = 0 est une equation de delta.

Ces deux là sont correctes (j'insiste mais c'est plus clair avec cette méthode pour la question 2...).

Magalie0011 a écrit:e/ d : 2x + - y + 4 = 0 et A ( 0 ; 4)

1. Le vecteur u ( 2 ; -1) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -x - 2y + alpha = 0 je trouve alpha = +8 donc -x - 2y + 8 = 0 est une équation de delta.

Celle-là avait aussi une petite erreur (mis en rouge).

par **Magalie0011** » 17 Mai 2008, 10:42

b/ d : y = 3 équivaut à 0 = -y +3

1. n (0; -1) OK
2. delta est -x - 1 = 0

e/ d : 2x + - y + 4 = 0 et A ( 0 ; 4)

1. Le vecteur u ( 2 ; -1) est normal à d.
2. u est un vecteur directeur de delta, donc delta a une equation de la forme : -x - 2y + alpha = 0 je trouve alpha = 8 donc -x - 2y + 8 = 0 est une équation de delta.

C'est cette fois-ci?

par **bombastus** » 17 Mai 2008, 10:51

Cette fois-ci, c'est tout bon! :zen:

par **Magalie0011** » 17 Mai 2008, 11:02

Je vous remercie beaucoup.

J'ai un autre exo du même genre sauf qu'il faut trouver l'équation d.

Je pense l'avoir réussi, est ce que vous pouvez me dire si c'est bon ou pas?

Enonce :

Pour chacun des cas suivants, tracez la droite d passant par A et de vecteur normal u, puis donnez une équation de d.

a/ A(1;-1) et u(2;-3)
b/ A(-1;-2) et u(0;2)
c/ A(-3;2) et u(3;0)

Mes réponses :

a/ A(1;-1) et u(2;-3)
d : ax + by + c = 0
Je remplace avec les coord de u donc d : 2x - 3y + c = 0
Puis je remplace les inconnus par les coord de A donc d : 2 + 3 + c = 0
donc c = -5
Donc d : 2x -3y -5 = 0

b/ A(-1;-2) et u(0;2)
Même raisonnement et je trouve d : 2y + 4 = 0

c/ A(-3;2) et u(3;0)
Même raisonnement et je trouve d : 3x + 9 = 0

Quand pensez-vous ?

Equation de droite et vecteur 1S

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