Equation cartésienne

[chloo]

Bonjour,

j'ai un exercice en spe maths a faire et je n'y arrive pas.
l'énoncé est le suivant :
1- soit p un entier relatif donné. on s'interesse dans cette question à l'équation (Ep) : 3x+4y=p ou (x;y) est un couple d'entier relatifs.
a) verifier que le couple (-p:p) est une solution particulière de l'équation.
b) démontrer que l'ensemble des solutions de (Ep) est l'ensemble des couples de la forme (-p+4k:p-3k) ou k est un entier relatif.
dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé. on considère le plan P d'équation cartésienne 6x+8y-z=0
2) soit Mo un point de coordonnées (xo;yo;zo) qui appartient au plan P et dont les trois coordonées sont des entiers relatifs.
a) démontrer que zo est pair.
b) on pose zo=2p ou p est un entier relatif.
prouvez que le couple (xo;yo) est solution de l'equation (Ep)
c) en utilisant la question 1, déterminer l'ensembles des points du plan P à coordonnées entières.
3) a tout point M de coordonnées (x;y;z), on associe le point M' de coordonnées (x';y';z')
avec matrice (x' y' z' ) = ( 31 75 180 toute la matrice * (x y z)
56 41 -144
28 -30 29 )
a) montrer que 6x'+8y'-z'= 101(6x+8y-z)
b) en deduire que si le point M est un point du plan P, alors le point M' est aussi un point du plan P.

voila tout l'énoncé, alors j'ai reussi a répondre à toutes les questions de 1. et aussi celle de 2.a) et 2.b) mais je suis bloqué à 2.c) pouvez-vous m'aidez ??

[Pseuda]

Bonjour,

2c) l'ensemble des points du plan P à coordonnées entières = ensemble des points M(x;y;z) tel que z=2p, avec p entier (d'après 2b) et 6x+8y=2p (d'après l'équation du plan), soit 3x+4y=p, et on a d'après la question 1) l'ensemble de ces couples (x,y).
On obtient l'ensemble des points M(x;y;z) tel que x=..., y=..., z=..., p et k entiers. Contrôle-toi par exemple avec p=1 et k=1 et le point M(3,-2,2).

[chloo]

alors x= -p+4k
y= p-3k et z=2p ??

[Pseuda]

C'est ça, il faut écrire : A est l'ensemble des points M(x;y;z) tels que x=-p+4k y=p-3k, z=2p, p et k des entiers.

On le fait par double inclusion : si M(x,y,z) appartient à A, alors x=, etc... . Réciproquement, les points M(x,y,z) tels que x=..., etc..., sont à coordonnées entières et vérifient l'équation du plan P (6x+8y-z=0, facile à vérifier).

[chloo]

super merci beaucoup
et comment je fais pour le 3)a je suis bloqué ??

[pascal16]

a) montrer que 6x'+8y'-z'= 101(6x+8y-z)

vas-y franco

tu écris le système 3*3 (x'=..x +...y + z... y'=.. )
tu ne résous pas le système, tu fais juste 6* le première ligne + 8 fois la seconde - la dernière
c'est en fait 6x'+8y'-z'
tu doit retrouver 101(6x+8y-z)

[chloo]

merci !!