Equation x²=4y²+2196

[colro51]

Bonjour tout-le-monde, je poste ici mon premier topic et j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre cette équation. Les cours portent en ce moment (maths spé, terminale S) sur les diviseurs.

Il s'agit ici de résoudre, dans N² (c-a-d que x et y doivent appartenir tous deux à l'ensemble grand N).

Merci par avance.
[Et spécifiez la manière dont vous vous y êtes pris, svp :) ]

[gigamesh]

Bonjour tout-le-monde, je poste ici mon premier topic et j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre cette équation. Les cours portent en ce moment (maths spé, terminale S) sur les diviseurs.

Il s'agit ici de résoudre, dans N² (c-a-d que x et y doivent appartenir tous deux à l'ensemble grand N).

Merci par avance.
[Et spécifiez la manière dont vous vous y êtes pris, svp ]

Salut,
ton équation se réécrit x²-4y²=2196.

Deux conseils :
* décompose 2196 en produit de facteurs premiers
* utilise une identité remarquable

[colro51]

D'accord, donc x²-4y² = 2196 =549 x4 par ex.
Donc (x-2y)(x+2y)=549x4 ?
Mais après, j'ai du mal à comprendre cet exo. :(

[gigamesh]

x-2y doit diviser 2196,
donc tu peux avoir x-2y=1 (et du coup x+2y=2196)
ou bien x-2y=2 (et donc x+2y=1098)
ou bien ...

Bah voila.
Rien de bien difficile.

tu remarqueras que x-2y et x+2y doivent avoir la même parité, sinon tu tombes sur x=...,5 ce qui est un peu contrariant.

Au boulot ! (bon courage)

[colro51]

Salut,
ton équation se réécrit x²-4y²=2196.

Deux conseils :
* décompose 2196 en produit de facteurs premiers
* utilise une identité remarquable

Tu es encore là?
Donc on a (x+2y)(x-2y)=2196, mais après? Comment faire avec tous ces couples, calculatrice, méthode manuelle? Même en décomposant, je vois pas comment faire :'(

[colro51]

x-2y doit diviser 2196,
donc tu peux avoir x-2y=1 (et du coup x+2y=2196)
ou bien x-2y=2 (et donc x+2y=1098)
ou bien ...

Bah voila.
Rien de bien difficile.

tu remarqueras que x-2y et x+2y doivent avoir la même parité, sinon tu tombes sur x=...,5 ce qui est un peu contrariant.

Au boulot ! (bon courage)

Oulala, donc, je dois "simplement" trouver tous les couples qui corespondent à (x-2y) et pour ceux de (x+2y) ce seront les même mais en inversant, non?
Mais j'vais pas faire ça comme ça, y'en a des dizaines des couples là :/
Et la même parité, c'est à dire?

[Sve@r]

Oulala, donc, je dois "simplement" trouver tous les couples qui corespondent à (x-2y) et pour ceux de (x+2y) ce seront les même mais en inversant, non?
Mais j'vais pas faire ça comme ça, y'en a des dizaines des couples là :/

Tout au plus c.a.d 46...

[colro51]

Tout au plus c.a.d 46...

Donc pour résoudre totalement l'équation, je trouve les couples tels que (x-2y)(x+2y) divise 20? de 1 à 46, sur mon cahier, un tableau de 46 colonnes ? :'(

[gigamesh]

pfff pauvre petite chose fragile !
yzont pas de fond les jeunes aujourd'hui !!!

Tu croyais que tu prenais la spé maths pour enfiler des perles ? :ptdr:

Bon 2196 c'est 2².3².61 donc il n'y a que 3.3.2 = 18 diviseurs, ça va aller vite ;
surtout si tu tiens compte de ma remarque sur la parité des diviseurs choisis...

Pour ta culture générale, on dit que deux entiers ont la même parité ssi ils sont tous les deux pairs ou bien tous les deux impairs ssi ils ont même reste dans une division par 2 ssi leur somme est paire ssi leur différence est paire.

[Olympus]

Salut !

.

Donc tu peux facilement faire une liste de ses diviseurs positifs . Un peu de dénombrement et hop 18 diviseurs . Et non, tu ne dois pas "inverser", car ici les deux facteurs ne jouent pas des rôles symétriques ( y a un plus petit et un plus grand ) .

Et encore, tu peux même te faciliter la tâche, car d'après ton équation, est pair, donc et aussi, du coup tu choisis juste les diviseurs pairs .

EDIT : grrr owned par gigamesh :hum:

[colro51]

Merci pour vos réponses.
En effet, c'est rapide, mais comment avez-vous trouvé le 2².3².61.
Parce-que lorsque que l'on cherche pour des nombres enormes, j'ai du mal à croire que l'on doit faire tout ça. Je l'ai fait hier soir avant de me coucher, je trouve bien 18 diviseurs mais, ayant d'énormes problèmes avec ces leçons de "diviseurs", je ne comprend toujours pas votre méthode.Déjà, comment trouvez vous 2².3².61 et ensuite, comment en concluez-vous le nombre de diviseurs...
Désolé :triste:

[gigamesh]

Salut,
là tu poses d'excellentes questions, avec des réponses tout à fait utiles.

Pour trouver la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, tu commence par essayer de le diviser par 2, autant de fois que c'est possible ; puis par 3, autant de fois que c'est possible ; puis par 5, autant de fois que possible (tu remarqueras qu'on a sauté le 4 vu que 4=2*2 ; en fait on n"essaie que des diviseurs premiers (ce n'est pas inutile de connaître par coeur le début de leur liste, mais ça vient avec l'entraînement 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 ...).

Voila à quoi ça ressemble, avec les qutotients successifs à gauche de la barre verticale, et les facteurs extraits à droite de cette barre :

2196 | 2
1098 | 2
549 | 3
183 | 3
61 | 61
1 |

Quand on arrive sur 1 on a fini. Bon ça peut être très long, mais dans un exo de maths le concepteur du sujet s'arrange pour que ce soit faisable. Pour des nombres très grands, c'est difficile de factoriser, c'est justement le principe sur lequel s'appuient des méthodes de crypto du genre RSA.

Pour le nombre de diviseurs, tu sais que chaque diviseur de 2196 s'écrit avec a=0, 1 ou 2, b=0,1 ou 2, c=0 ou 1, ce qui donne 3*3*2=18 possibilités.

Allez, deux exos : trouve moi le nombre de diviseurs de 8925, et celui de 2649314304.

[colro51]

Salut,
là tu poses d'excellentes questions, avec des réponses tout à fait utiles.

Pour trouver la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, tu commence par essayer de le diviser par 2, autant de fois que c'est possible ; puis par 3, autant de fois que c'est possible ; puis par 5, autant de fois que possible (tu remarqueras qu'on a sauté le 4 vu que 4=2*2 ; en fait on n"essaie que des diviseurs premiers (ce n'est pas inutile de connaître par coeur le début de leur liste, mais ça vient avec l'entraînement 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 ...).

Voila à quoi ça ressemble, avec les qutotients successifs à gauche de la barre verticale, et les facteurs extraits à droite de cette barre :

2196 | 2
1098 | 2
549 | 3
183 | 3
61 | 61
1 |

Quand on arrive sur 1 on a fini. Bon ça peut être très long, mais dans un exo de maths le concepteur du sujet s'arrange pour que ce soit faisable. Pour des nombres très grands, c'est difficile de factoriser, c'est justement le principe sur lequel s'appuient des méthodes de crypto du genre RSA.

Pour le nombre de diviseurs, tu sais que chaque diviseur de 2196 s'écrit avec a=0, 1 ou 2, b=0,1 ou 2, c=0 ou 1, ce qui donne 3*3*2=18 possibilités.

Allez, deux exos : trouve moi le nombre de diviseurs de 8925, et celui de 2649314304.

Lol, justement, je l'ai vu ce matin la méthode :p.

Mais, même après avoir lu tes explications, j'ai du mal à déduire qu'il y a 18 solutions du fait que 3*3*2=18.
Pourquoi, par exemple, a=0,1 ou 2 ?

J'ai beaucoup de mal avec les diviseurs etc...toute la spé maths d'en ce moment quoi, et ce n'est qu'un de mes problèmes cet excercice, je déséspère . (j'suis pas mauvais en maths sur le tronc commun pourtant).


Merci de me répondre