Entiers premiers entre eux - TS spé

[Nightmare]

Salut Jota Be,

je ne comprends pas ta question a) dont les résultat est admis par l'énoncé...

[Jota Be]

Salut Jota Be,

je ne comprends pas ta question a) dont les résultat est admis par l'énoncé...

Comment cela ? inv(p) n'est pas forcément égal à q qui lui est un entier relatif.

Si j'ai bien compris ce que tu n'as pas compris

[Nightmare]

Non, je ne comprend toujours pas.

Ton énoncé dit : Pour tout entier p < 47, on admet il existe un entier inv(p) tel que p.inv(p)=1 mod 47
La question dit : Montrer que pour tout entier p < 47, il existe un entier q tel que pq=1 mod 47

N'est-ce pas exactement la même chose?

[Jota Be]

Non, je ne comprend toujours pas.

Ton énoncé dit : Pour tout entier p < 47, on admet il existe un entier inv(p) tel que p.inv(p)=1 mod 47
La question dit : Montrer que pour tout entier p < 47, il existe un entier q tel que pq=1 mod 47

N'est-ce pas exactement la même chose?

inv(p) appartient à A, tandis que q est un élément de Z.

Sinon, on part de cette relation :

pq-1=47k, k appartient à Z
d'où pq-47k=1 avec q et -k des coefficients de Bézout, ce que l'on peut affirmer puisque p appartient à A donc p<47 et pgcd(47;p)=1. On prouve l'existence des entiers q et -k de Z².

[Nightmare]

inv(p) appartient à A, tandis que q est un élément de Z.

Ca ne change rien à ce que je dis puisque A est inclus dans Z donc inv(p) répond à la question a).

Tu es sûr de ton énoncé? Relis le, c'est étrange que tu ne vois pas l'étrangeté de la question a).

[Jota Be]

Ca ne change rien à ce que je dis puisque A est inclus dans Z donc inv(p) répond à la question a).

Tu es sûr de ton énoncé? Relis le, c'est étrange que tu ne vois pas l'étrangeté de la question a).

Hmmm je pense comprendre ce que tu dis : inv(p) vérifie déjà le "rôle" de q donc en ayant admis qu'il existe déjà, q existe, enfin autrement dit, selon toi la question n'a pas lieu d'être, n'est-ce pas ?

Attends un peu, je vais demander à un copain...

[Jota Be]

Hmmm je pense comprendre ce que tu dis : inv(p) vérifie déjà le "rôle" de q donc en ayant admis qu'il existe déjà, q existe, enfin autrement dit, selon toi la question n'a pas lieu d'être, n'est-ce pas ?

Attends un peu, je vais demander à un copain...

En effet, tu as raison. La question III)a) est posée avant le petit texte qui admet l'existence de inv(p).
Excuse-moi pour la gène ! Je vais modifier ça de suite.

[Matt_01]

Pour la c (qui est un classique et qui se généralise par le théorème de Wilson) :
Premièrement, il faut voir que dans le produit 1*2...*45*46, il peut se passer que deux choses pour chaque facteur i : inv(i) = i (et donc i = 1 ou 46) ou inv(i) est différent de i et est aussi un des facteurs du produit.
Vois tu alors comment permuter le produit afin qu'on tombe sur ce que l'on veut ?

[Jota Be]

Pour la c (qui est un classique et qui se généralise par le théorème de Wilson) :
Premièrement, il faut voir que dans le produit 1*2...*45*46, il peut se passer que deux choses pour chaque facteur i : inv(i) = i (et donc i = 1 ou 46) ou inv(i) est différent de i et est aussi un des facteurs du produit.
Vois tu alors comment permuter le produit afin qu'on tombe sur ce que l'on veut ?

Salut Matt,
Personnellement, j'ai dit qu'en enlevant 1 et 46, il nous restait un produit de 44 nombres. Or il est dit dans l'énoncé qu'à chaque nombre p de a on associe un unique inv(p) tel que p.inv(p) soit congru à 1 mod 47.
J'ai donc remarqué qu'en multipliant les 44 nombres entre eux, ils allaient forcément par paires p.inv(p), soit 22 paires. Le produit est donc congru à 1 mod 47. En multpliant par un et 46 d'un côté, cela équivaut à multiplier par 1 et -1 de l'autre côté. Donc 46! congru à -1 mod 47.
Mais mon raisonnement est bancal, j'ai l'impression, puis il manque le fait que je doive préciser qu'il existe une application bijective qui s'applique dans A dont je "dois préciser la nature" (selon ma prof). Auriez-vous des suggestions ?

Ps : Les 44 nombres sont les nombres dont le produit est 45! sans compter 1.


Pps : ce que j'ai fait correspond à ce que tu as dit, Matt, non ?

[Matt_01]

Oui oui, c'est bien ce à quoi je pensais.
La bijection c'est simplement l'application inv sur l'ensemble privé de 1 et 46. Le seul truc important c'est de voir qu'elle est sans point fixe et injective (donc bijective vu qu'on est dans un ensemble fini) pour pouvoir faire nos paires sans problème.
De là, je ne vois pas ce qui pose problème à ton professeur ;)

[Jota Be]

Oui oui, c'est bien ce à quoi je pensais.
La bijection c'est simplement l'application inv sur l'ensemble privé de 1 et 46. Le seul truc important c'est de voir qu'elle est sans point fixe et injective (donc bijective vu qu'on est dans un ensemble fini) pour pouvoir faire nos paires sans problème.
De là, je ne vois pas ce qui pose problème à ton professeur

Ok merci beaucoup Matt, je vais en discuter avec elle !