Encadrements

[Bertrand Hamant]

Bonjour à tous

cet exercice consiste à encadrer des fonctions trigonomètriques et calculer leurs limites. J'aimerais votre confirmation

f et g sont deux fonctions définies et dérivables sur D = [ 0 ; + 00 [ tel que pour tout x de l'intervalle D, f ' (x ) < g ' ( x )

en étudiant la fonction h définie sur D par f ( x ) - f ( 0 ) - g (x) + g ( 0 )

prouvez que f (x) - f(0) < g(x) - g(0)

j'ai dis que d'après f ' (x ) < g ' ( x ) , il était équivalent d'écrire

f ( x ) - f ( 0 ) / ( x - 0 ) < g ( x ) - g (0 ) / (x-0)

ce qui équivaut à f (x) - f(0) < g(x) - g(0)

est ce correcte

ensuite on me demande de démontrer que pour tout x > 0 - x < sin x < x

- 1 < f ( x ) - f ( 0 ) / x - 0 < 1

soit - x < f' ( x ) < x avec f' ( x ) = sin x est ce correcte

b) lorsque f (x) = - cos x f ' (x) = sin x et lorsque g ( x ) = x² /2 et g ' (x) =x

en utilisant f (x) - f(0) < g(x) - g(0) prouvez que pour tout x > 0

on a 1 - x²/2 < cos x < 1 + x² /2

f (x) - f(0) < g(x) - g(0) = - cos x + 1 < x² / 2

équivaut à cos x - 1 > - x²/ 2 ----> cos x > 1 - x²/2

or ce sont pour tout x > 0 on sait que - A < x < A --- > | x | < A

donc on a bien 1 - x²/2 < cos x < 1 + x²/2

je pense que c bon jusque là mais confirmez moi

on préfère garder 1 - x²/2 < cos x < 1 démontrer que l'inégalité est vraie pour tout x alors là je suis bloqué

puis en réitirant le processus , prouvez que pour tout réel x > 0,

x - x^3 / 6 < sin x < x et que pour tout x, 1 - x²/2 < cos x < 1 - x²/2 + x^4 /24

merci de vos réponses et confirmez moi si mes raisonnements sont juste

[LN1]

Bonjour,

f et g sont deux fonctions définies et dérivables sur D = [ 0 ; + 00 [ tel que pour tout x de l'intervalle D, f ' (x ) 0
Sachant que h(x) 0 tu en déduis l'inégalité cherchée f(x) - f(0) g(x) - g(0)

ensuite on me demande de démontrer que pour tout x > 0 - x - cos x + 1 - x²/ 2 ----> cos x > 1 - x²/2

Oui

or ce sont pour tout x > 0 on sait que - A | x | 0 (la fonction cos est toujours comprise entre -1 et 1)
les fonctions x --> cos(x) et x --> 1 - x²/2 sont paires, les inégalités valables pour x > 0 le sont aussi par symétrie pour x 0,

x - x^3 / 6 < sin x < x et que pour tout x, 1 - x²/2 < cos x < 1 - x²/2 + x^4 /24

Rebelote: tu poses f(x) = x - x^3/6 et g(x) = sin(x)
tu compares f'(x) et g'(x) et tu en déduis la première inégalité
sin(x) < x a déjà été demontrée

Rerebelote : tu poses g(x) = - cos(x) et f(x) = x²/2 - x^4 /24
tu compares f'(x) et g'(x) et, tu utilises la première question pour comparer cos x et 1 - x²/2 + x^4 /24



Bon courage

[becirj]

a) Ta première question ne me semble pas correcte et tu n'utilises pas l'indication du texte.
h'(x)0 on a donc h(x)1 et pour , je te conseille d'étudier les variations des fonctions définies sur par i(x)=sinx -x et j(x)=sinx +x

[Bertrand Hamant]

donc

puis je dire que h ' ( x ) = f ' ( x ) - g ' ( x )


f ' ( x ) est positive sur [ 0 ; + 00 [

- g' (x) est négative sur [ 0 ; + 00 [

donc h ' ( x ) < 0 par conséquent h (x) < 0 soit f ( x) - f(0) < g(x)- g(0)

est ce jute ???

pour les sinus comment démontrer que - x < sin x < x pour tout x > 0

[LN1]

h'(x) = f '(x) - g'(x) VRAI

f '(x) > 0 FAUX
- g'(x) < 0 FAUX

de plus h'(x) n'est pas égal au produit de f'(x) et -g'(x) mais est égal à la différence de f '(x) et g'(x)
Il FAUT te servir des données de l'énoncé: que sais-tu de F'(x) et g'(x) ? (surement pas que l'une est positive et l'autre est négative...)

Quand tu auras démontré (rigoureusement) que h'(x) < 0. Tu ne pourras pas en déduire que h(x) <0
[ regarde par exemple x --> 1/(1 + x). sa dérivée est négative et pourtant la fonction est positive pour x > 0 ]

Tu dois en déduire le sens de variation de h
puis, sachant que h(0) =0, en déduire le signe de h(x)

pour -x < sinx < x suis mes instructions (voir message 2)...
Mais si tu préfères travailler avec becirj, dis le sans hésitation

Bon courage

[Bertrand Hamant]

donc je pose f ( x ) = - x et g ( x ) = sin x

ce qui me fait - x < sin x

puis f ( x ) = sin x et g ( x ) = +

sin x < x soit donc - x < sin x < x

pour montrer que pour tout x > 0 x - x^3/6 < sin x < x

on pose donc f' (x) = 1 - x²/2 et g ' (x) = cos x

puis f'(x) = cos x et g'(x) = 1 ce qui nous fait 1 - x²/2 < cos x < 1

qui a déjà été démontré et la comment on déduire que x - x^3/6 < sin x < x


puis comment démontrer que pour tout x 1 - x²/2 < cos x < 1 - x²/2 + x^4/24

merci

[Bertrand Hamant]

h'(x) = f '(x) - g'(x) VRAI


pour étudier son signe on doit résoudre h ' ( x ) = 0

soit f ' ( x ) = g ' (x ) or d'après l'énoncé f ' (x ) < g ' (x )

donc h ' x ) = f '( x ) - g ' (x ) < 0 soit h'(x) < 0 c correcte là LN1 ?

étant donné que h ' x ) est de signe négative sur [ 0 ; +00 [ la fonction est h décroissante sur [ 0 ; + 00 [ de plus h(0) donc on h ( x ) < 0

soit l'égalité demandée f( x) - f(0) < g ( x) - g(0)

[LN1]

Donc tu poses f(x) = -x et g(x) = sin(x) mais tu n'as pas le droit de conclure tout de suite:

tu dois vérifier que f'(x) < g'(x) .....(facile)
Ensuite en déduire que f(x) - f(0) < g(x) - g(0) et remarquer, oh surprise que cela te donne bien -x < sinx

Ensuite tu poses f(x) = x - x^3/6, g(x) = sin(x)
Tu calcules f'(x) et g'(x) (tu l'as bien fait)
Tu vérifies bien que f'(x) < g'(x) en citant la question où tu as déjà prouvé cette inégalité
tu en déduis que f(x) - f(0) < g(x) - g(0) ce qui, oh surpise, te donne l'inégalité souhaitée

Tu n'as pas besoin de redémontrer l'autre inégalité (sinx < x) car tu l'as déjà démontrée (retrouve où).


Pour démontrer que, pour tout x > 0 : 1 - x²/2 < cos x < 1 - x²/2 + x^4/24
Tu as déjà démontré la première inégalité (retrouve où) et pour démontrer que, pour tout x > 0 : cos x < 1 - x²/2 + x^4/24
suis mes instructions (message 2)

[Bertrand Hamant]

h'(x) = f '(x) - g'(x) VRAI


pour étudier son signe on doit résoudre h ' ( x ) = 0

soit f ' ( x ) = g ' (x ) or d'après l'énoncé f ' (x ) < g ' (x )

donc h ' x ) = f '( x ) - g ' (x ) < 0 soit h'(x) < 0 c correcte là LN1 ?

étant donné que h ' x ) est de signe négative sur [ 0 ; +00 [ la fonction est h décroissante sur [ 0 ; + 00 [ de plus h(0) donc on h ( x ) < 0

soit l'égalité demandée f( x) - f(0) < g ( x) - g(0)

[LN1]

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