Droite dans R^3

[dragonou]

Bonjour , si j'ai 2 points A(5,2,3) et B(3,6,8) , et que je veux avoir l'équation de cette droite dans R^3 , comment on fait ?

merci

[Zebulon]

Bonjour,
la droite (AB) est l'ensemble des points M de l'espace tels qu'il existe un réel t vérifiant .
Soit M(x;y;z). Alors M appartient à la droite (AB) si et seulement s'il existe un réel t tel que .
Il faut ensuite montrer que ce système est équivalent à un système de deux équations de plan.

[dragonou]

je comprends parfaitement ton égalité vectoriel et ton petit système d'équations , mais comment à partir de çà avoir l'équation de la droite ?

[Zebulon]

si je n'ai pas fait d'erreur de calcul...

[dragonou]

ok mais là j'ai un système d'équations , et non l'équation de la droite...

[Zebulon]

Dans l'espace, une droite peut être définie comme étant l'intersection de deux plans distincts non parallèles. Une droite n'est donc pas caractérisée par une équation mais par un système de deux équations linéaires (chaque équation caractérisant un plan).

[dragonou]

jte remercie tu m'as bien éclairé , je vais un peu approfondir si çà t'ennuit pas sur le plan , imagine que j'ai :

A(2,6,8)
B(3,5,7)
C(9,2,5)

Pour prouver que ces 3 points forment un plan , si j'ai bien saisi ce que tu as dit je dois prouver que AB n'est pas égal à t*AC , nous sommes bien d'accord ?

Comment fais tu ceci stp ?

[Zebulon]

Pour prouver que ces 3 points forment un plan , si j'ai bien saisi ce que tu as dit je dois prouver que AB n'est pas égal à t*AC , nous sommes bien d'accord ?

Oui, c'est ça. On dit dans ce cas que et sont indépendants ou non colinéaires.
Pour le montrer, tu peux calculer les corrdonnées des vecteurs et et montrer qu'au moins deux des rapports , et ne sont pas égaux. Attention ! tu ne peux calculer ces rapports que pour des x', y' et z' non nuls !

[dragonou]

alors j'ai :

AB(1,-1,-1) , AC(7,-4,-3)

x/x' = 1/7
y/y' = 1/4
z/z' = 1/3

ils sont pas égaux , maintenant pour avoir l'équation du plan comment on fait ?

[yos]

Si tu tiens à une équation de ta droite, en voici une :
(2x+y-12)²+(5y-4z+2)²=0

[Zebulon]

Si tu tiens à une équation de ta droite, en voici une :
(2x+y-12)²+(5y-4z+2)²=0

Je n'y avais pas pensé ! :marteau:
Ceci dit, je ne pense pas que ce soit demandé.
Pour le plan, de la manière que la droite (AB) est l'ensemble des points M tels qu'il existe un réel t vérifiant ,
le plan (ABC) est l'ensemble des points M tels qu'il existe deux réels a et b vérifiant .
Ca donne trois équations. On isole a dans une, b dans une autre, et on reporte dans la 3ème. C'est cette troisième équation qui sera l'équation du plan.

[dragonou]

ok regarde je prends un exemple :

3a + 8b + 2c + d = 0
3a + 6b + 5c + d = 0
5a + 2b + 6c + d = 0

Si je fais le pivot de gauss çà me fait :

L1
L2-L1
L3- (5/3)L1

j'ai pas le droit de faire :

L1
L2-L1
L3-L1 , car vu que je pivote sur 3a c'est pas possible qu'en penses tu , c'est pas autorisé par le pivot de gauss çà ?

[Zebulon]

3a + 8b + 2c + d = 0
3a + 6b + 5c + d = 0
5a + 2b + 6c + d = 0

Que sont a, b, c et d ?

[dragonou]

ben les coefficients de x,y,z...

[Zebulon]

ben les coefficients de x,y,z...

Les coefficients de x, y, z ? Je ne comprends pas. (x,y,z) ne sont pas les coordonnées des points M recherchés ?

[dragonou]

ben si :we:

[Zebulon]

Alors qu'est-ce que ça veut dire "a, b et c sont les coefficients des coordonnées de M" ?

[dragonou]

je recherche tout simplement l'équation du plan de type ax + by + cz + d = 0 , où est le problème?

si j'ai les 3 pts A(3,8,2) , B(3,6,5) et C(5,2,6) , j'ai bien le système que j'ai mis , je crois qu'on s'est embrouillé car j'ai pris d'autres coordonnées je suis désolé .

[Zebulon]

je recherche tout simplement l'équation du plan de type ax + by + cz + d = 0 , où est le problème?

Ah d'accord ! Excuse-moi, j'étais à côté de la plaque !
Essaie avec la méthode que j'ai exposée dans mon post de 18h48.