Domaine de fonction ,racine, asymptotes

par **paink** » 27 Aoû 2007, 15:03

Bonjour!

Donc voila l'exercice : f(x)= x/ln x

Je cherche le domaine, les racines et les asymptotes (verticales, horizontales et obliques s'il y a)

Les dérivées, je devrai pouvoir y arriver.

Merci de bien vouloir m'aider

par **Sylar** » 27 Aoû 2007, 15:18

Bonjour,

Df=]0,1[u]1,+inf[

Ps:pour les asymptotes ,il suffit de calculer les limites en 0+,1-,1+ et +inf !!

par **lapras** » 27 Aoû 2007, 15:43

le logarithmé népérien est défini sur ]0;+OO[ et s'annule en 1, donc Df = R+*
privé de 1
Soit g(x) = ln(x)/x
Calculons la limite de g quand x->0+
lim ln(x) * 1/x = -OO*+OO = -OO
x->0+
donc
lim x/ln(x) = 0-
x->0
Limite de ln(x)/x au voisinage de +OO :
on sait que
lim e^x/x = +OO
x->+OO

(démontrable facilement...)
donc
lim e^x/ln(e^x) = +OO
x->+OO
On pose X = e^x
donc
X/ln(X) = +OO quand x-> +OO

Limite en 1 :
ln(1) = 0
donc lim x/ln(x) = +OO
x->1+

Limite en 1- :
donc lim x/ln(x) = -OO
x->1-

Droite d'équation y=1 asymptote verticale à f(x)

par **anima** » 27 Aoû 2007, 15:45

lapras a écrit:Droite d'équation y=1 asymptote verticale à f(x)

x=1 et pas y=1 :hum:
Il y a aussi une asymptote horizontale qui traine, non?

par **lapras** » 27 Aoû 2007, 15:48

OUPS encore moi et mes étourderies....
c'est bien y=1 désolé paink :triste:

par **Skullkid** » 27 Aoû 2007, 15:51

Bonjour, comme l'ont dit lapras et anima, il y a bien une asymptote verticale d'équation x=1, mais il n'y a ni asymptote horizontale, ni asymptote oblique.

par **paink** » 27 Aoû 2007, 15:52

merci, j'vais allé faire ça puis essayer de faire les dérivées

par **anima** » 27 Aoû 2007, 15:55

paink a écrit:Bonjour!

Donc voila l'exercice : f(x)= x/ln x

Je cherche le domaine, les racines et les asymptotes (verticales, horizontales et obliques s'il y a)

Les dérivées, je devrai pouvoir y arriver.

Merci de bien vouloir m'aider

Bon allez, je fais l'etude.

Lapras avait pris la mauvaise fonction; celle-ci est beaucoup plus intéressante a etudier;

On remarque de suite une verticale (x=1), et une asymptote oblique "probable". On va voir! :++:
De plus, la fonction tend vers zero en zero. Ca serait bien de se calculer une dérivée en zéro (tangente horizontale)

Je crois qu'on est fixé. Pas d'asymptote oblique "remarquable"

par **lapras** » 27 Aoû 2007, 15:59

Anima,
g(x)= ln(x)/x me servait juste pour calculer la limite de f(x) = x/ln(x)

par **anima** » 27 Aoû 2007, 16:00

lapras a écrit:Anima,
g(x)= ln(x)/x me servait juste pour calculer la limite de f(x) = x/ln(x)

Ok. Dans ce cas, j'ai rien dit :briques:

par **lapras** » 27 Aoû 2007, 16:01

No problems ! :zen:

par **paink** » 27 Aoû 2007, 16:25

pour la dérivée de x/ln x, j'obtiens :

f'(x) = ln x - 1 / 2 ln x

et en simplifiant ça fait f'(x) = (1/ ln x) - (1/ 2ln x)

ça vous semble correct ou pas?

par **anima** » 27 Aoû 2007, 16:38

paink a écrit:pour la dérivée de x/ln x, j'obtiens :

f'(x) = ln x - 1 / 2 ln x

et en simplifiant ça fait f'(x) = (1/ ln x) - (1/ 2ln x)

ça vous semble correct ou pas?

Pas d'accord;

mais il vaut mieux garder le carré en bas...

par **paink** » 27 Aoû 2007, 16:58

ah oui, erreur de calcul, j'ai fait comme si le ² était que sur le x alors qu'il est sur ln(x)

par **paink** » 27 Aoû 2007, 17:11

par contre pour la seconde dérivée, j'y arrive pas du tout :triste:

je dois faire f''(x) = (1/ ln x)' - (1/(ln x)²) '

par **paink** » 27 Aoû 2007, 18:24

Là j'ai trouvé ((-1+ x)/ x) / (ln x) ² comme réponse

j'ai simplifié, ça fait (-1+x) / x(ln x) ²

mais je sais pas du tout si c'est correct

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