Divisibilité

[strangegirl59]

Bonjour,
J'aurais bien besoin d'aide pour un exercice, j'ai passé du temps dessus, mais je n'y arive pas, en plus c'est un dm à rendre pour demain :triste:

Pour tout entier naturel n , on pose A(n)= n² - n + 2007
Le but de l'exercice est d'étudier la divisibilité des entiers A(n) par 2 et 3.
Cet exercice est composé de 2 questions indépendantes.

1.a.Donner la décomposition en facteurs premiers du nombre A(1)= 2007.
b.Soit n un entier naturel.Démontrer que si "Si n est divisible par 3, alors A(n) est divisible par 3."
c.La réciproque de cette dernière affirmation est-elle vraie?Justifier.

2.a.Vérifier que quel que soit l'entier naturel n, on a :
[CENTER](n+1)² - (n+1) +2007 = (n² - n + 2007) + 2n[/CENTER]
b.On considère un entier naturel n quelconque. Démontrer que "Si A(n) est impair, alors A(n+1) est impair"
c.L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse?Justifier.
"Il existe au moins un entier natural n tel que A(n) soit divisible par 2".

Alors la question 1.a. j'ai 2007= 3*3*223 c'est bien un facteur de nombres premiers?
La question 1.b. j'ai dit qu'il existait un réel k tel que n/3=k , donc A(n)=3(3k²-k+669).Est-ce que c'est bon?
Je comprends pas trop la 1.c par contre.

La partie 2, je pense comprendre la 2.a. on développe juste (n+1)² - (n+1) +2007 pour obtenir (n² - n + 2007) + 2n ??
Après les 2.b et c je sais pas faire...

[le_fabien]

Bonjour,

j'ai 2007= 3*3*223 c'est bien un facteur de nombres premiers?

C'est bon.

A(n)=3(3k²-k+669).Est-ce que c'est bon?

C'est bon aussi car A(n) est multiple de trois.

Je comprends pas trop la 1.c par contre

Et bien A(1) est multiple de trois non ?

(n+1)² - (n+1) +2007 = (n² - n + 2007) + 2n

D'après cette relation tu as A(n+1)=A(n) +2n , ça devrait t'aider.

"Il existe au moins un entier natural n tel que A(n) soit divisible par 2".

Peut être montrer que A(n) est toujours impaire. :we:

[strangegirl59]

Merci beaucoup, j'vais essayer tout ça.

[strangegirl59]

Dsl mais j'vois pas du tout comment démontrer que si A(n) est impair alors A(n+1) est impair aussi...

[le_fabien]

Et bien si A(n) est impair et si tu lui ajoute un nombre pair soit 2n alors forcement A(n)+2n est impair.

[strangegirl59]

Merci pour ton aide. :we:
A+