Divisibilité

[mehdi-128]

Bonsoir,

Montrer que les nombres suivants sont divisibles par 37 : (sans utiliser les congruences)

1/ où a est un entier compris entre 1 et 9.
2/ où a est un entier compris entre 1 et 9.
3/ où a est un entier compris entre 1 et 9.

J'ai pas d'idées... J'aimerais une indication. Merci.

[Lostounet]

Salut,
{aaa} = 100a + 10a + a

Or 100= 2*37+26
Donc 100a=26a (mod 37)

{aaa}= 26a + 10a + a (mod 37)
=37a (mod 37)
= 0 (37)

[mehdi-128]

Je peux pas utiliser les modulos, ça n'a pas été vu à ce stade !



Or 111 est divisible par 37 donc est divisible par 37.

C'est juste ?

[mehdi-128]

Pour l'autre :



Or 111111 est divisible par 37 d'où le résultat

[mehdi-128]

Le dernier :



10101 et 101010 sont divisibles par 37 d'où le résultat

[Lostounet]

Oui ... que tu l'écrives 111..a ou bien que tu fasses la réduction modulaire petit à petit.. ça marchera dans les deux cas.

Par contre vu que le critère de divisibilité par 37 est un peu méconnu, j'ai tendance à réduire petit à petit.

[mehdi-128]

Comment faire la réduction modulaire sans les congruences ?

J'ai fait à la calculatrice.

[Lostounet]

Comment faire la réduction modulaire sans les congruences ?

J'ai fait à la calculatrice.

Euh... congruences c'est justement les "modulo"... donc tu demandes un truc paradoxal.

Sinon tu peux écrire:
100a+10a+a = (37*2+26)a+ 10a + a
= 37*2a + 26a + 10a + a
= 37*2a + 37a
=37*(3a)

[mehdi-128]

Et pour des nombres grands comme 1000 et 10 000 ?

[Lostounet]

Et pour des nombres grands comme 1000 et 10 000 ?

Ben par divisions euclidiennes...


1000=10*100
=10*(37*2+26)
= 20*37 + 10*26
=20*37 + ( 37*5 + 15 + 60) de tête
= 25*37 + 75
= 25*37 + 2*37 + 1
= 37*27 + 1

[mehdi-128]

Merci beaucoup Lostounet