Divisibilité

[atreyyu]

Trouver tous les entiers positifs tels que est divisible par .
En dehors de évident , j'ai trouvé quelques résultats par la force brute. Cependant, je n'ai aucune idée de comment construire une preuve rigoureuse. Votre aide sera appréciée!

[Mortelune]

En dehors des couples du type (a,a) et (0,2p) j'ai trouvé (1,3);(1,7);(1,19) et (3;25) mais en utilisant un logiciel ça démontre pas grand chose.

[Ben314]

Salut,
J'ai une réponse, mais c'est assez "crado", mais, comme j'ai même pas peur du ridicule, je la donne quand même...

qui, vu comme une équation du second degré en , a pour discriminant :

Or doit être le carré d'un entier qui doit être supérieur ou égal à et de même parité que .
Ecrivons donc que où .
On a alors (car )
Reste à résoudre , c'est à dire :

On doit donc avoir et cela ne fait pas "trés beaucoup" de cas à étudier.
Aprés "essais", on trouve 4 solutions autres que celles où a=b (les solutions avec a=b correspond au cas où n=0)


EDIT : en reregardant la preuve, en fait l'équation de départ équivaut à et je pense qu'avec ça, on peut résoudre même dans Z.

[atreyyu]

En effet, pas la plus belle manière, mais elle fonctionne quand même. Merci!