Divisibilité à gogo

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 20:26

Bonsoir à tous et à toutes,
Je butte sur un exo d'entraînement :

Soient (a;b) ;) N² tels que (a+b);)ab = p², p premier .
J'ai réussi à montrer que p²|a² mais comment en déduire que p|a ?
J'ai d'abord pensé dire que si a² = p²k, alors a = p;)k, mais rien ne me dit que ;)k est un entier, donc cette réponse simpliste n'est pas valide.
Merci de me donner des pistes.
À bientôt

PS : je vois aussi un peu de Gauss, mais je doute vraiment.

par **Nightmare** » 14 Déc 2011, 20:32

Salut,

suppose que p ne divise pas a. Quand on calcule a², à quel moment le diviseur p² pourrait-il apparaître?

Regarde par exemple du côté de la décomposition en facteurs premiers.

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 20:40

Nightmare a écrit:Salut,

suppose que p ne divise pas a. Quand on calcule a², à quel moment le diviseur p² pourrait-il apparaître?

Regarde par exemple du côté de la décomposition en facteurs premiers.

Merci pour ta réponse Nightmare, je vais y réfléchir.
Donc un raisonnement par l'absurde suffit ? Faut-il voir un lien avec le fait que p²|a² ?

par **Nightmare** » 14 Déc 2011, 20:46

Jota Be a écrit:Merci pour ta réponse Nightmare, je vais y réfléchir.
Donc un raisonnement par l'absurde suffit ? Faut-il voir un lien avec le fait que p²|a² ?

Je ne comprends pas ta dernière question. L'exercice part de l'hypothèse p²|a² donc oui, il faut voir un lien avec ça...

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 21:07

Nightmare a écrit:Je ne comprends pas ta dernière question. L'exercice part de l'hypothèse p²|a² donc oui, il faut voir un lien avec ça...

Oulalah je m'en sors pas.
Bon, la décomposition en facteurs premiers donne a = p1;)¹×p2;)²××pn;)¨ avec pn;)¨<p non ?
Donc a² n'est pas divisible par p² puisque a² = p1²;)¹×p2²;)²××pn²;)¨ avec pn²;)¨<p² ,ce qui est faux. Peut-on raisonner comme ça ?

J'ai oublié de dire que p1;)¹<p2;)²<<pn;)¨<p et que sur R+, x;)x² est bijective et croissante, et que N;)R+.

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 21:16

la décomposition en facteurs premiers me parait compliquée....
commence par montrer
p² divise a² => p divise le produit a²=a.a (facile)
EDIT : quoique tu peux le faire aussi avec les facteurs premiers (en utilisant le faut que p|a²), mais écris simplement, ne mets pas concrètement la décomposition, elle ne sert a rien !

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 21:22

Ana_M a écrit:la décomposition en facteurs premiers me parait compliquée....
commence par montrer
p² divise a² => p divise le produit a²=a.a (facile)

Oui je l'avais aussi mis de côté parce que je n'ai pas réussi à aboutir. Merci de me guider au fait, je suis complètement sec. Au fait, est-ce que ma décomposition est viable ? (Il n'y a de compliqué que les signes il me semble).

Edit : ok la décompo ne sert à rien.

par **Nightmare** » 14 Déc 2011, 21:22

Jota Be > L'idée de la décomposition en facteur premier est la bonne.

Par contre, pourquoi aurait-on pn^n.. Sauf erreur, la preuve vers laquelle tu te diriges utilise un théorème bien plus compliqué que la décomposition en facteurs premiers (puisque sa démonstration utilise cette décomposition).

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 21:23

oui c'est bien ça, seulement soit tu pars avec mon indication, qui est plus "calculatoire", ou alors tu peux raisonner avec les facteurs premiers, mais dans ce cas il faut bien écrire les choses en français !....

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 21:25

Nightmare a écrit:Jota Be > L'idée de la décomposition en facteur premier est la bonne.

Par contre, pourquoi aurait-on pn^n.. Sauf erreur, la preuve vers laquelle tu te diriges utilise un théorème bien plus compliqué que la décomposition en facteurs premiers (puisque sa démonstration utilise cette décomposition).

oui en effet, j'ai édité mon message car j'ai eu idée de la preuve avec les facteurs premiers après avoir posté...

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 21:30

Nightmare a écrit:Jota Be > L'idée de la décomposition en facteur premier est la bonne.

Par contre, pourquoi aurait-on pn^n.. Sauf erreur, la preuve vers laquelle tu te diriges utilise un théorème bien plus compliqué que la décomposition en facteurs premiers (puisque sa démonstration utilise cette décomposition).

Ok Night, j'ai supposé p_i^ni<p puisque a<p, ce qui est faux, merci de me le rappeler.
Pour la suite, il se peut que un p_i^ni soit égal à p² mais je sais pas comment le prouver.

En montrant que p|a² ? Cela me semble bon.

PS : veuillez excuser ma lenteur, je suis sur mobile.

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 21:33

si p²|a² alors p |a² (tu peux le montrer, idée : réecrire bien a² =... ? )
ensuite fais par l'absurde en supposant que p ne divise pas a... !

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 21:38

Ana_M a écrit:si p²|a² alors p |a² (tu peux le montrer, idée : réecrire bien a² =... ? )

ensuite si p|a², que peux tu affirmer dans la décomposition en facteurs premiers de a² ?

Oui j'avais déjà montré que p|a² puisque p²|a²;)a²=p²k ou a²=p(pk).
Donc a² comprend p dans sa décompo, mais je vois pas plus loin

Edit : ah l'absurde ! Dsl j'avais pas vu la modif ! Je vois ça tout de suite.

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 21:39

Jota Be a écrit:Oui j'avais déjà montré que p|a² puisque p²|a²;)a²=p²k ou a²=p(pk).
Donc a² comprend p dans sa décompo, mais je vois pas plus loin

oui donc tu as p | a².

ensuite suppose plutot que p ne divise pas a.
que peux tu alors affirmer dans la décomposition en facteurs premiers de a ?

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 21:44

Ana_M a écrit:oui donc tu as p | a².

ensuite suppose plutot que p ne divise pas a.
que peux tu alors affirmer dans la décomposition en facteurs premiers de a ?

Il n'y a pas de p dans la décompo de a, mais peut-être dans celle de a² non ?

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 21:47

si p n'appraît pas dans la décompo de a, est-ce que p² peut appraitre dans la décompo de a² ?

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 21:51

Ana_M a écrit:si p n'appraît pas dans la décompo de a, est-ce que p² peut appraitre dans la décompo de a² ?

Ah tu me poses une khôlle là ^^ je dirais que non sans réfléchir mais en reprenant ce que Night a dit, il serait possible q'un p_i^ni soit égal à p², ou alors c'est moi qui confond tout.

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 21:58

non Night n'a jamais dit que ça pouvait exister, il t'a posé la question comme moi, et ton intuition est la bonne, p² ne peut pas apparaître dans la décompo de a²... !

par **Jota Be** » 14 Déc 2011, 21:59

Bon, merci à vous deux mais j'aime pas rester trop longtemps sur une question. Je verrai la correction demain.
Votre aide m'a été précieuse mais ce soir, ma tête n'obéit plus.
A bientôt, si j'ai encore des questions, je les poserai dans ce tropicale.

Edit : tropical = topic :ptdr: c'est ça la correction automatique !

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 22:00

Pourtant la preuve était terminée !...

Passe une bonne nuit, et à bientôt !

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