Divisibilité et équations à deux variables

[rdt]

Salutation,

Je ne parviens pas à transformer :

(p^2) -6p -63 = q^2

en une équation modulo n qui me permette d'éliminer une variable pour trouver les entiers naturels p et q qui satisfont cette équation.

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider sur ce point.

[Lostounet]

Salutation,

Je ne parviens pas à transformer :

(p^2) -6p -63 = q^2

en une équation modulo n qui me permette d'éliminer une variable pour trouver les entiers naturels p et q qui satisfont cette équation.

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider sur ce point.

(Re - !) Bonsoir,


(p^2) -6p -63 = q^2
Signifie que:




Il suffit donc de regarder les diviseurs de 72 en résolvant quelques systèmes linéaires.
Par exemple, 72 = 2^3*3^2 = 6*6*2

p - 3 - q = 2
p - 3 + q = 36
=>
2p - 6 = 38
=> p = 22 donc q = p -5=17

Quelques essais permettent de voir comment "tomber" sur un système qui marche (par exemple on peut choisir les diviseurs dont la somme est paire...). Je trouve trois solutions positives.

[rdt]

Ha !
Comme la mathématique sait récompenser la coopération et la tenacité !
Si, avec mon niveau -1 en arithmétique, « on peut choisir les diviseurs dont la somme est paire… » m’a paru mystérieux au premier abord, grâce à ton aide et mon niveau +∞ en motivation, il ne m’a fallu qu’un couple de diviseur pour apprécier cette qualité !
J’ai également eu la joie d’observer qu’avec P et P’ deux polynomes, et a et b, disons deux réels, on a par commutativité que :
(P = a et P’ = b)(i) donne une solution équivalente à (P = b et P’ = a)(ii)
car avec (i), P + P’ = a + b
et avec (ii), P + P’ = b + a = a + b = (P + P’)(i);
ce qui permet de n’avoir a tester qu’un couple par paire de diviseur.
Je trouve alors trois couples de solutions.

Un grand merci encore Lostounet