Divisibilite et la coguance

[cricrilivia]

Bonjour
j ai deux exercices sur la divisibilite et la cogruance.
1)
n est un entier naturel impair. Prouvez que 8 divise 3^n+4*n+1

Comme n est impair on pose n=2*k+1
ce qui donne : 3^(2*k+1)+4*(2*k+1)+1 = 8*p
3^(2*k)*3+8*k+5 = 8*p
et la je ne sais plus quoi faire

2)
Prouvez que pour tout entier naturel n
10^n*(9*n-1) congru 8 (mod9)

et la je ne sait pas commencer

merci de m'aider

[nodjim]

3^(2*k+1)+4*(2*k+1)+1 = 8*p
3^(2*k)*3+8*k+5 = 8*p

Congruence, on écrit.
8k=0 modulo 8
5=-3 modulo 8
3^2n=9^n
or 9=? modulo 8 ?

[nodjim]

Prouvez que pour tout entier naturel n
10^n*(9*n-1) congru 8 (mod9)

Pareil ici, on demande un modulo 9, donc tout terme > 9 doit être immédiatement remplacé par son équivalent modulo 9. C'est là le secret des congruences.

[cricrilivia]

Congruence, on écrit.
8k=0 modulo 8
5=-3 modulo 8
3^2n=9^n
or 9=? modulo 8 ?

Si j'ai bien compris

9 congru 1 (mod8) donc
9^n congru 1^n (mod8)

mais je ne peux pas conclure que 8 est un diviseur

[nodjim]

Réécris la totalité de ton expression avec ce que tu sais maintenant.

[cricrilivia]

Pareil ici, on demande un modulo 9, donc tout terme > 9 doit être immédiatement remplacé par son équivalent modulo 9. C'est là le secret des congruences.

Est-ce que c'est juste si j'ecris

d'une part
10 congru 1 (mod9)
10^n congru 1^n (mod9)
10^n congru 1 (mod9)

d'autre part
9 congru 0 (mod9)
9*n congru 0 (mod9)
9*n-1 congru -1 (mod9)

donc
10^n*(9*n-1) congru -1 (mod9)

[cricrilivia]

Réécris la totalité de ton expression avec ce que tu sais maintenant.

je trouve

9^n congru 1 (mod8)
9^n+8*n congru 8*n (mod8) donc
9^n+8*n congru 8 (mod8)
9^n+8*n+5 congru 13 (mod8)

mais je ne peux pas conclure non plus

[nodjim]

Oui c'est bon pour la seconde question.

[nodjim]

9^n+8*n congru 8*n (mod8)

Non, tu ne peux pas écrire ça.
9=1 mod 8
8=0 mod 8 donc 8n=0n=0 mod 8

[cricrilivia]

Non, tu ne peux pas écrire ça.
9=1 mod 8
8=0 mod 8 donc 8n=0n=0 mod 8

donc
9^n congru 1 (mod8)
8 congru 0 (mod8) donc 8*n congru 0*n congru 0 (mod8) donc
9^n+8*n congru 1 (mod8)
9^n+8*n+5 congru 6 (mod8)

je dois encore ecrire quelque chose de faux

[cricrilivia]

Oui c'est bon pour la seconde question.

ok merci je pense que j'ai compris

[cricrilivia]

en revanche le premier me bloque encore

[nodjim]

3^(2*k+1)+4*(2*k+1)+1

3*3^(2k)+8k+5
=3*3^(2k) +5 mod 8 car 8k=0 mod 8
=3*3^(2k) -3 mod 8
=3(9^k-1) mod 8
=3*(1^k-1) mod 8
=3*(0) mod 8
=0 mod 8

D'accord ?

[cricrilivia]

Ok merci pour ton aide. Ca me semble plus claire, je vais essayer de refaire des exercices pour savoir si j'y arrive