Divisibilié/nombres premiers

[Nekster]

Bonjour j'ai un petit soucis avec un exercice :
1-on nous donne 8 (a^3) - 16 a (b²) - 3 (b²) =0 et on nous demande de demontrer que b divise 8 et que a divise 3.
2- on nous demande de demontrer que si (2^n) - 1 est premier, alors n est premier (avec n un entier naturel)
Pourriez vous m'aider pls?

[aviateur]

Est tu sûr(e) que b divise 8?
A part (a,b)=(0,0) as tu des solutions?

[Ben314]

Salut,
Déjà, le 1), ça serait pas con de préciser ce que c'est que a et b.
Je suppose que c'est des entiers, mais même dans ce cas, c'est faux : a=b=0 est une solution (et je me demande si c'est pas la seule) et b=0 ne divise pas 8 et a=0 ne divise pas 3.

Pour le 2, connait tu l'identité remarquable

edit : Grilled...

[Nekster]

oui dans l'exercice on demande bien de montrer que b divise 8 .(et oui dsl j'ai oublié de preciser que a et b sont des entiers )

[Ben314]

Et le seul tels que divise est donc l'unique solution est .

[Nekster]

et pour la 2eme question oui je connais cette identité remarquable mais je ne vois pas comment je pourrais demontrer que n est premier grace a ca..

(PS: pour la question 1 je pense qu'il y a une erreur dans l'exercice je demanderais a mon prof demain )

[Ben314]

Comment factoriser ?

[Nekster]

a^n - b^n = (a-b) (a^n-1 + a^n-2 b +...+a b^n-2 +b^n-1) c'est bien ça que je dois utiliser?
Je crois avoir compris l'idée: je dois démontrer que n ne peut etre factorisé que sous la forme 1* n mais je ne vois vraiment pas comment faire

[aviateur]

fais un raisonnement par contraposée

[Nekster]

franchement j'ai aucune idée qui me vient a l'esprit.

[infernaleur]

Rappel : la contraposée de a=>b est non(b) => non(a)
tu dois donc montrer que si n n'est pas premier ALORS 2^n-1 n'est pas premier.

Si n n'est pas premier il existe a et b supérieur ou égal à 2 tel que n=ab et maintenant utilise la factorisation suggéré par Ben

[Oui pardon j'aurais du te laisser répondre j'ai pas pu résister à la tentation ^^]

[aviateur]

Tu as presque la solution donné ci-dessus par ben:
si n n'est pas premier. Posons n=mp ,

bon doublon!

[Nekster]

AHHHHH d'accord merci beaucoup (désolé de vous avoir fait perdre votre temps sur un truc aussi facile je pense que c'est la fatigue qui vient a bout de mon cerveau :p c'etait tellement evident que je l'ai pas vu..) Merci encore.

[nodgim]

Pour la question 1, qui est une question niveau Lycée je rappelle, on ne demande pas les solutions éventuelles, mais seulement certaines conditions nécessaires ( mais pas suffisantes ! ) .

Et dans ce cas oui, il est nécessaire que b divise 8 et que a divise 3.

[aviateur]

Bonjour @Nogdim.
Je ne sais pas si tu as remarqué que la seule solution est (a,b)=(0,0) . A ma connaissance 0 ne divise pas 8. Non? Alors la question me parait étrange car que cela soit du niveau lycée ou non, c'est faux. Il faut comprendre mon premier post. Il y a toutes les chances que Nekster a déformé l'exercice.

[nodgim]

Salut aviateur.
C'est précisément parce que j'ai lu vos réponses, à toi et à Ben, que je me suis permis cette remarque. La question demandée n'est pas la résolution de l'équation, en tout cas ce n'est pas ce qui est écrit.
Il me semble que la résolution d'une telle équation diophantienne à 2 inconnues dépasse le niveau de maturité d'un lycéen normal.

[Pseuda]

Bonjour,

Il manque peut-être à l'énoncé que a et b sont premiers entre eux. Dans ce cas, il n'y a pas de solution, mais on peut quand même déduire de l'énoncé que (sous-entendu : s'il y a des solutions), b divise 8 et a divise 3.

[aviateur]

Oui mais b ne divise pas 8. A moins que a et b soient premiers entre eux, effectivement.

[nodgim]

En fait, il y a erreur d'énoncé : il faut "b" multiple de 8 et "a" multiple de 3, et non l'inverse.
Du coup, ça réconcilie avec la solution triviale (0,0).

8a^3 = 16 ab² +3b² = b² (16a+3)
comme 16a + 3 impair, il faut b² = (4b) ²
a^3 = 2 b² (16a+3) donc "a" doit être pair
4a^3 = b² (32a+3) et là il faut encore b=2b.

Ensuite pour le 3 :
8a^3 - 16ab² = 3b²
8a ( a²-2b²) = 3b²
et à droite il faut un multiple de 3, qui n'est pas a²-2b² si a n'est pas lui même multiple de 3.

[Pseuda]

8a^3 = 16 ab² +3b² = b² (16a+3)
comme 16a + 3 impair, il faut b² = (4b)²
a^3 = 2 b² (16a+3)

??? Cela ne veut rien dire d'autre que b=0.